[Esercizio] Pivoting Parziale

[wolframio32]

Ho questo sistema da risolvere con strategia di pivoting parziale.

\(\displaystyle \\
-2x_{1}+4x_{2}+8x_{3}=10\\
-4x_{1}+18x_{2}-16x_{3}=-2\\
-6x_{1}+2x_{2}-20x_{3}=-24 \)

1 dubbio: Posso semplificare le equazioni del sistema prima di procedere al pivoting ? Mi spiego meglio, la prima equazione posso semplificarla ad esempio dividendo tutto per due ? Oppure per problemi legati al condizionamento questa operazione non posso farla ?

2 dubbio: mi rendo conto in realtà che il pivoting parziale non è necessario dato che nella risoluzione nessun termine sulla diagonale viene nullo.

Nell'ipotesi che abbia semplificato le equazioni ed ottenuto il sistema (ammesso e concesso che si possa fare-->dubbio 1):

\(\displaystyle \\
-x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=5\\
-2x_{1}+9x_{2}-8x_{3}=-1\\
-3x_{1}+x_{2}-10x_{3}=-12 \)

Se la traccia mi chiede di usare il pivoting parziale, al primo passo dovrei scambiare la 3 equazione con la prima (in termini matriciali, la 3 riga con la 1 riga) giusto ?

Grazie per la vostra disponibilità.

[walter891]

esatto il pivoting parziale è necessario quando si annulla qualche termine sulla diagonale, però per migliorare le proprietà della matrice è utile effettuarlo sempre con lo scopo di massimizzare in modulo gli elementi pivotali. Quindi come hai detto tu inizi scambiando la riga 1 con la riga 3 per ottenere il primo pivot, poi vedi che succede per gli altri

per il primo dubbio sinceramente non mi ricordo se la semplificazione delle equazioni ha qualche effetto sul condizionamento...

[wolframio32]

Ok, perfetto . Ora spero che qualcuno mi riesca a togliere il 1 dubbio.

[wolframio32]

In qualche esercizio svolto, ho notato che NON viene fatta la semplificazione del sistema prima di procedere, per cui temo che quest'operazione non si possa fare.

Grazie per la vostra collaborazione.