Esercizio metodo di punto fisso
Salve a tutti, vi propongo un esercizio in cui mi blocco senza trovare soluzione concreta (mi succede abbastanza spesso ahimè!).
Ho anche chiesto al prof, che mi ha detto che il ragionamento è giusto, però non mi ha svolto fino in fondo l'esercizio (e non ho capito cosa c'è che non và!)!
TESTO:
Si consideri il problema di punto fisso per la funzione $f(x)=1/x-e^(x^2)$.
Discutere le condizioni di convergenza del metodo applicato ad $f$ e in particolare, indicare un intervallo della retta reale
dove è possibile scegliere le condizioni iniziali affinchè il metodo converga.
RISPOSTA:
Allora, qui lavoro utilizzando la 'versione numerica' del Teorema di punto fisso.
Cioè, se trovo un intervallo $[a,b]$ in cui $|f'(x)|<=K$ con $K<1$ (in particolare la funzione deve anche essere $C^1[a,b]$),
allora so $f$ avrà un unico punto fisso $\alpha$ in $[a,b]$ e il metodo convergerà $AA x_0 in [a,b]$.
Dopo un veloce studio della funzione, è evidente che il punto fisso si trova nel quadrante positivo, e non è quindi una
restrizione assumere $\alpha >0$. Calcolo la derivata e $|f'(x)|=|-1/x^2-2xe^(x^2)|$.
Come già detto la sto cercando $|f'(x)|<1$, dato che $\alpha>0$ e lavorerò solo sulle $x>0$ posso togliere il modulo e
limitarmi a studiare (la quantità dentro il modulo è negativa!) $1/x^2+2xe^(x^2)<1$ che può essere riscritta come:
$2x^3e^(x^2)
Adesso (dove mi bloccavo) il prof mi ha detto che l'unico modo per operare è graficamente!
Ora, sorvolando il fatto che una volta fatti i grafici, mi risulta che in nessun punto è verificata questa disuguaglianza (e magari
qualcuno qui potrebbe dirmi dove sbaglio) se invece avessi trovato graficamente il suddetto intervallo, che avrei fatto poi?
Nel senso, come avrei trovato l'intervallo in cui è verificata la disuguaglianza?
Ho una soluzione grafica, ma numericamente?
Grazie in anticipo!
Ho anche chiesto al prof, che mi ha detto che il ragionamento è giusto, però non mi ha svolto fino in fondo l'esercizio (e non ho capito cosa c'è che non và!)!
TESTO:
Si consideri il problema di punto fisso per la funzione $f(x)=1/x-e^(x^2)$.
Discutere le condizioni di convergenza del metodo applicato ad $f$ e in particolare, indicare un intervallo della retta reale
dove è possibile scegliere le condizioni iniziali affinchè il metodo converga.
RISPOSTA:
Allora, qui lavoro utilizzando la 'versione numerica' del Teorema di punto fisso.
Cioè, se trovo un intervallo $[a,b]$ in cui $|f'(x)|<=K$ con $K<1$ (in particolare la funzione deve anche essere $C^1[a,b]$),
allora so $f$ avrà un unico punto fisso $\alpha$ in $[a,b]$ e il metodo convergerà $AA x_0 in [a,b]$.
Dopo un veloce studio della funzione, è evidente che il punto fisso si trova nel quadrante positivo, e non è quindi una
restrizione assumere $\alpha >0$. Calcolo la derivata e $|f'(x)|=|-1/x^2-2xe^(x^2)|$.
Come già detto la sto cercando $|f'(x)|<1$, dato che $\alpha>0$ e lavorerò solo sulle $x>0$ posso togliere il modulo e
limitarmi a studiare (la quantità dentro il modulo è negativa!) $1/x^2+2xe^(x^2)<1$ che può essere riscritta come:
$2x^3e^(x^2)
Adesso (dove mi bloccavo) il prof mi ha detto che l'unico modo per operare è graficamente!
Ora, sorvolando il fatto che una volta fatti i grafici, mi risulta che in nessun punto è verificata questa disuguaglianza (e magari
qualcuno qui potrebbe dirmi dove sbaglio) se invece avessi trovato graficamente il suddetto intervallo, che avrei fatto poi?
Nel senso, come avrei trovato l'intervallo in cui è verificata la disuguaglianza?
Ho una soluzione grafica, ma numericamente?
Grazie in anticipo!
Risposte
attenzione che il teorema non si riferisce alla $f(x)$ ma alla funzione di iterazione $phi(x)$ scelta in modo opportuno
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