Esercizio metodo di Newton
Salve ragazzi,
sto cercando di risolvere quest'esercizio
Data la funzione \(\displaystyle f(x) = x^2-8 \), eseguire due passi del metodo di Newton per la ricerca di uno zero.
Generalmente la mia professoressa inizia con x0 = -1, il problema è che con quest'esercizio specifico, nel secondo passo ottengo derivata nulla. Come si procede quindi? Posso cominciare con qualunque punto dell'intervallo, dato che l'esercizio non mi limita da questo punto di vista?
sto cercando di risolvere quest'esercizio
Data la funzione \(\displaystyle f(x) = x^2-8 \), eseguire due passi del metodo di Newton per la ricerca di uno zero.
Generalmente la mia professoressa inizia con x0 = -1, il problema è che con quest'esercizio specifico, nel secondo passo ottengo derivata nulla. Come si procede quindi? Posso cominciare con qualunque punto dell'intervallo, dato che l'esercizio non mi limita da questo punto di vista?
Risposte
Per prima cosa,
"Regolamento":
[regolamento]3_6[/regolamento]: 3.6: Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini.
Chiedo venia, ho sistemato il testo dell'esercizio, che è il seguente :
Data la funzione \(\displaystyle f(x) = x^2-8 \), eseguire due passi del metodo di Newton per la ricerca di uno zero.
Data la funzione \(\displaystyle f(x) = x^2-8 \), eseguire due passi del metodo di Newton per la ricerca di uno zero.
Applicando il metodo ad occhio non mi sembra che al secondo passo si arrivi a una derivata nulla, come dici tu. Vuoi mostrare qualche calcolo?
Per i primi due passi bisogna risolvere
\(\displaystyle x_{1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)
\(\displaystyle x_{2}=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \).
La derivata prima della funzione è 2x, inoltre x0 = -1 e x1 = 0. Quando vado a calcolare la derivata prima nel punto x1 = 0, tale derivata vale zero. Sbaglio qualcosa?
\(\displaystyle x_{1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)
\(\displaystyle x_{2}=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \).
La derivata prima della funzione è 2x, inoltre x0 = -1 e x1 = 0. Quando vado a calcolare la derivata prima nel punto x1 = 0, tale derivata vale zero. Sbaglio qualcosa?
"Remer":
x1 = 0
Questo è sbagliato.
Non capisco dov'è l'errore, o meglio, le ipotesi non sono verificate, dato che nell'intervallo le derivate prima e seconda non devono mai annullarsi. Il problema è...qual è quest'intervallo? L'esercizio non dice nulla, quindi teoricamente potrei scegliermi l'intervallo che preferisco? In questo caso potrei escludere il punto 0 e quindi considerare x0 = -1 e x1 = 1
Il metodo di Newton richiede un solo punto di partenza, \(x_0\), che puoi scegliere in un intervallo più o meno grande, avendo cura di verificare certe ipotesi che garantiscono la convergenza.
Tutti gli altri punti della successione si calcolano con la formula che hai scritto, che nel caso di \(x_1\) è:
Tutti gli altri punti della successione si calcolano con la formula che hai scritto, che nel caso di \(x_1\) è:
"Remer":
\( \displaystyle x_{1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)
Grazie mille!
Per evitare di aprire un altro topic, avrei un'altra domanda. L'esercizio è il seguente :
Interpolare con un polinomio \(\displaystyle p(x)\) la funzione \(\displaystyle f(x)\) che assuma i seguenti valori
\(\displaystyle f(0) = 5, f(1) = 2, f(-1) = 4,\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{43}{12} \)
Al di la dei valori e dei calcoli, a me interessa il metodo risolutivo. Ho già risolto degli esercizi simili, ma nelle condizioni non c'era l'integrale. Il mio dubbio è appunto questo, cosa devo fare per considerare anche l'integrale?
Per evitare di aprire un altro topic, avrei un'altra domanda. L'esercizio è il seguente :
Interpolare con un polinomio \(\displaystyle p(x)\) la funzione \(\displaystyle f(x)\) che assuma i seguenti valori
\(\displaystyle f(0) = 5, f(1) = 2, f(-1) = 4,\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{43}{12} \)
Al di la dei valori e dei calcoli, a me interessa il metodo risolutivo. Ho già risolto degli esercizi simili, ma nelle condizioni non c'era l'integrale. Il mio dubbio è appunto questo, cosa devo fare per considerare anche l'integrale?
Guarda che non paghiamo in base ai topic, e anzi questo meriterebbe una discussione tutta sua!
Non hai altre condizioni su \(p\) o \(f\)?
Non hai altre condizioni su \(p\) o \(f\)?
No, ho postato l'intero esercizio. Se può aiutarti, ho studiato 3 metodi di risoluzione : Differenze divise di Newton, Lagrange e coefficienti indeterminati. Ovviamente gli altri esercizi avevano solamente alcuni valori di f(x) e bisognava semplicemente trovare il polinomio che riusciva ad interpolarli.
Istintivamente ti direi di mettere il polinomio nell'integrale e fare il conto, ottenendo così un'altra condizione sui coefficienti del polinomio, il cui grado però rimane ignoto, mi pare di capire.
Potresti spiegarti meglio? Non ho capito bene quale polinomio.
Il polinomio che stai cercando...
Ma tu dici di risolvere un integrale con un generico polinomio oppure di utilizzare un metodo che conosco per ottenere il polinomio e poi di inserirlo dentro l'integrale?
Io ti direi di mettere il polinomio che stai cercando dentro l'integrale. Qui c'è il problema aggiunto che non è chiaro di che grado debba essere il polinomio che cerchi, quindi non saprei come scegliere.
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