[Esercizio] Fattorizzazione LU Calcolo Numerico
Salve, ragazzi!
Potreste dirmi quali sono le condizioni perché una matrice ammetta fattorizzazione LU?
Ho il seguente esercizio:
"Data la seguente matrice A (quadrata), determinare tutti i valori di h per i quali la matrice ammetta fattorizzazione LU".
Come posso risolverlo (per caso ponendo i determinanti dei minori diversi da zero?)??
Vi ringrazio!
Potreste dirmi quali sono le condizioni perché una matrice ammetta fattorizzazione LU?
Ho il seguente esercizio:
"Data la seguente matrice A (quadrata), determinare tutti i valori di h per i quali la matrice ammetta fattorizzazione LU".
Come posso risolverlo (per caso ponendo i determinanti dei minori diversi da zero?)??
Vi ringrazio!
Risposte
Ciao. Per caso devi fare l'esame oggi?
Comunque c'è un teorema che ti dice delle condizioni sufficienti perchè esista la fattorizzazione LU di A:
se tutte le sottomatrici principali di testa di A di ordine 1,2,3,...,n-1 sono non singolari allora esiste la fattorizzazione.
Quindi diciamo in generale ti basta porre i determinanti di queste sottomatrici diversi da 0. Però spesso ti conviene guardare se la matrice ha qualche struttura particolare o se viene consentito l'uso di pivoting di qualche genere.
Comunque c'è un teorema che ti dice delle condizioni sufficienti perchè esista la fattorizzazione LU di A:
se tutte le sottomatrici principali di testa di A di ordine 1,2,3,...,n-1 sono non singolari allora esiste la fattorizzazione.
Quindi diciamo in generale ti basta porre i determinanti di queste sottomatrici diversi da 0. Però spesso ti conviene guardare se la matrice ha qualche struttura particolare o se viene consentito l'uso di pivoting di qualche genere.
Ti ringrazio!!
No, l'esame è a fine settembre, però l'unica cosa che non mi entra è la fattorizzazione LU...sulle dispense del mio prof è spiegata veramente male, e per di più gli indici non si riescono neanche a leggere
Mamma mia, quindi praticamente devo ricercare tutti i minori e porre il loro det diverso da zero (non vi è alcuna indicazione circa l'uso di pivoting e la matrice sembra non avere alcuna struttura particolare
). Una cosa: cosa si intende per minore principale "di testa"? Come al solito, non è spiegato sulle dispense (e meno male che si consiglia di studiare solo da quelle)... 
No, l'esame è a fine settembre, però l'unica cosa che non mi entra è la fattorizzazione LU...sulle dispense del mio prof è spiegata veramente male, e per di più gli indici non si riescono neanche a leggere
Mamma mia, quindi praticamente devo ricercare tutti i minori e porre il loro det diverso da zero (non vi è alcuna indicazione circa l'uso di pivoting e la matrice sembra non avere alcuna struttura particolare
). Una cosa: cosa si intende per minore principale "di testa"? Come al solito, non è spiegato sulle dispense (e meno male che si consiglia di studiare solo da quelle)...
Non devi cercarli tutti.
I minori principali sono quelli i cui elementi principali (diagonale) sono anche elementi principali di A. Quelli di testa sono quelli principali formati dagli elementi $(a_(ij))$ con $i,j=1,...,k$
Esempio:
$A=((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$
$((1,3),(7,9))$ è una sottomatrice principale di A
$((1,2),(4,5))$ è principale di testa di A.
Se guardi bene una matrice di ordine n ha esattamente n-1 sottomatrici principali di testa proprie più ovviamente se stessa.
I minori principali sono quelli i cui elementi principali (diagonale) sono anche elementi principali di A. Quelli di testa sono quelli principali formati dagli elementi $(a_(ij))$ con $i,j=1,...,k$
Esempio:
$A=((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$
$((1,3),(7,9))$ è una sottomatrice principale di A
$((1,2),(4,5))$ è principale di testa di A.
Se guardi bene una matrice di ordine n ha esattamente n-1 sottomatrici principali di testa proprie più ovviamente se stessa.
i, j = 1...k sono alla fine tutti gli elementi della diagonale, giusto?
UP: tutto ok, capito! Ti ringrazio infinitamente!!
UP: tutto ok, capito! Ti ringrazio infinitamente!!
scusa ho scritto male.
volevo dire che quelli di testa sono quelli formati con le colonne e le righe i,j=1,...k.
Per spiegarmi meglio quelli che rispetto alla matrice non saltano nessuna riga e nessuna colonna.
volevo dire che quelli di testa sono quelli formati con le colonne e le righe i,j=1,...k.
Per spiegarmi meglio quelli che rispetto alla matrice non saltano nessuna riga e nessuna colonna.
Un'ultima cosa: se l'esercizio, anziché chiedermi di determinare tutti i valori di h affinché la matrice ammetta la decomposizione LU, mi chiede invece il contrario, ossia di determinare tutti i valori di h affinché la matrice non ammetta fattorizzazione, dovrei porre i determinanti dei minori di testa = 0, e non diversi da zero, vero? Grazie mille ancora!!
Devi cercare di capire esattamente cosa ti sta chiedendo.
Quel teorema ti dà condizioni sufficienti affinchè la fattorizzazione esista, cioè esistano matrici L e U come sai che moltiplicate danno A.
Tuttavia un altro teorema ti assicura che per ogni matrice A di ordine n esiste una matrice di permutazione $Pi$ tale che esista la fattorizzazione LU di $PiA$. Moltiplicare per una matrice di permutazione a sinistra vuol dire letteralmente permutare le righe della matrice.
Ciò vuol dire che, se si parla di fattorizzazione LU di A in quanto matrice così come ti è stata data allora la condizione di non singolarità delle sottomatrici principali di testa è anche necessaria. Se si intende fattorizzazione LU nel senso di metodo di Gauss applicato al sistema che ha A come matrice allora puoi sempre trovare una matrice di permutazione che scambi le righe di A ottenendo una matrice per cui esiste la fattorizzazione LU. Nota: Questa storia delle matrici di permutazione corrisponde alle varie tecniche di pivoting del metodo di Gauss.
Quel teorema ti dà condizioni sufficienti affinchè la fattorizzazione esista, cioè esistano matrici L e U come sai che moltiplicate danno A.
Tuttavia un altro teorema ti assicura che per ogni matrice A di ordine n esiste una matrice di permutazione $Pi$ tale che esista la fattorizzazione LU di $PiA$. Moltiplicare per una matrice di permutazione a sinistra vuol dire letteralmente permutare le righe della matrice.
Ciò vuol dire che, se si parla di fattorizzazione LU di A in quanto matrice così come ti è stata data allora la condizione di non singolarità delle sottomatrici principali di testa è anche necessaria. Se si intende fattorizzazione LU nel senso di metodo di Gauss applicato al sistema che ha A come matrice allora puoi sempre trovare una matrice di permutazione che scambi le righe di A ottenendo una matrice per cui esiste la fattorizzazione LU. Nota: Questa storia delle matrici di permutazione corrisponde alle varie tecniche di pivoting del metodo di Gauss.
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