Esercizio di Metodi Numerici
Ciao a tutti,
avrei bisogno di una mano per lo svolgimento del seguente esercizio trovato nel libro di testo di un corso di Metodi Numerici.
Dimostrare la seguente uguaglianza:
$ int_(-1)^(1) ((1+x)/(1-x))^(1/2) dx = pi $
Nella dimostrazione, non ho capito come, ma dovrebbe entrare in gioco una delle funzioni euleriane gamma o beta, o la digamma.
Ho provato con varie sostituzioni, ma non riesco a ricondurmi a nessuna forma nota.
Ringrazio in anticipo chiunque riesca ad illuminarmi
avrei bisogno di una mano per lo svolgimento del seguente esercizio trovato nel libro di testo di un corso di Metodi Numerici.
Dimostrare la seguente uguaglianza:
$ int_(-1)^(1) ((1+x)/(1-x))^(1/2) dx = pi $
Nella dimostrazione, non ho capito come, ma dovrebbe entrare in gioco una delle funzioni euleriane gamma o beta, o la digamma.
Ho provato con varie sostituzioni, ma non riesco a ricondurmi a nessuna forma nota.
Ringrazio in anticipo chiunque riesca ad illuminarmi
Risposte
Ciao!
C'è motivo di tirare fuori le funzioni euleriane? Una semplice soluzione è questa: \[\int_{-1}^1\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\mathrm{d}x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{\theta}}{1-\sin{\theta}}\cos{\theta}\,\mathrm{d}\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin{\theta})\mathrm{d}\theta=\pi\] facendo la sostituzione \(x=\sin{\theta}\).
È ciò che cercavi?
C'è motivo di tirare fuori le funzioni euleriane? Una semplice soluzione è questa: \[\int_{-1}^1\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\mathrm{d}x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{\theta}}{1-\sin{\theta}}\cos{\theta}\,\mathrm{d}\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin{\theta})\mathrm{d}\theta=\pi\] facendo la sostituzione \(x=\sin{\theta}\).
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