Esercizio Calcolo Numerico(ottimizzazione?)
Ciao,
stavo facendo degli esercizi di Calcolo Numerico e mi sono bloccato su questo esercizio:
Un cavo dell'alta tensione sospeso a due estremi posti per convenzione alla quota
y=0, a causa della forza di gravità, si dispone nel piano x-y secondo la tipica curva
coseno iperbolico di equazione y=Cosh(ax)-5.
Determinare il valore del parametro a che permette di mantenere una distanza
orizzontale tra i due estremi pari a 6: si rammenta che Cosh(ξ)= (e^(ξ)+e^(-ξ))/2.
(Suggerimento: tracciare qualitativamente l'andamento della curva prima di procedere
con la soluzione del problema)
Mi sapreste aiutare?
stavo facendo degli esercizi di Calcolo Numerico e mi sono bloccato su questo esercizio:
Un cavo dell'alta tensione sospeso a due estremi posti per convenzione alla quota
y=0, a causa della forza di gravità, si dispone nel piano x-y secondo la tipica curva
coseno iperbolico di equazione y=Cosh(ax)-5.
Determinare il valore del parametro a che permette di mantenere una distanza
orizzontale tra i due estremi pari a 6: si rammenta che Cosh(ξ)= (e^(ξ)+e^(-ξ))/2.
(Suggerimento: tracciare qualitativamente l'andamento della curva prima di procedere
con la soluzione del problema)
Mi sapreste aiutare?
Risposte
La prima cosa da fare è impostare l'esercizio.
Hai fatto il disegno? Che conseguenze ne hai tratto?
Hai fatto il disegno? Che conseguenze ne hai tratto?
Sinceramente, però, non vedo cosa ci sia da ottimizzare, dato che tutto si risolve con un po' di conti da terza superiore...
Senza ledere la generalità si può supporre \(a>0\).
Dato che la forma del cavo è simmetrica rispetto all'asse del segmento tra gli estremi dei pali e dato che il grafico della funzione assegnata è simmetrico rispetto all'asse delle \(y\), da ciò si deduce che l'intervallo dell'asse \(x\) corrispondente al segmento che separa i pali è simmetrico rispetto allo \(0\), cioé è un intervallo del tipo \([-\xi(a) , \xi (a)]\).
Gli estremi di tale intervallo sono \(\pm \xi(a)\), in cui \(\xi (a)\) è l'unica radice positiva dell'equazione \(\cosh(a\xi)-5=0\); risolvendo tale equazione si trova:
\[
\begin{split}
\cosh (a\xi) -5=0 \quad &\Leftrightarrow \quad e^{2a\xi} -10\ e^{a\xi}+1=0 \\
&\Leftrightarrow \quad e^{a\xi} = 5\pm \sqrt{24}\\
&\Leftrightarrow \quad e^{a\xi} = \begin{cases} 5 + \sqrt{24}\\
\frac{1}{5+\sqrt{24}} \end{cases}\\
&\Leftrightarrow \quad \xi = \begin{cases} \frac{1}{a}\ \log(5 + \sqrt{24})\\
-\frac{1}{a}\ \log(5+\sqrt{24}) \end{cases}
\end{split}
\]
quindi \(\xi (a) = \frac{1}{a}\ \log(5 + \sqrt{24})\).
L'ampiezza dell'intervallo in orizzontale è uguale a \(2\xi(a)\), quindi per determinare \(a\) basta risolvere:
\[
\frac{1}{a}\ \log(5 + \sqrt{24}) =3 \quad \Leftrightarrow \quad a=\frac{1}{3}\ \log(5 + \sqrt{24})\approx 0.764\; .
\]
Senza ledere la generalità si può supporre \(a>0\).
Dato che la forma del cavo è simmetrica rispetto all'asse del segmento tra gli estremi dei pali e dato che il grafico della funzione assegnata è simmetrico rispetto all'asse delle \(y\), da ciò si deduce che l'intervallo dell'asse \(x\) corrispondente al segmento che separa i pali è simmetrico rispetto allo \(0\), cioé è un intervallo del tipo \([-\xi(a) , \xi (a)]\).
Gli estremi di tale intervallo sono \(\pm \xi(a)\), in cui \(\xi (a)\) è l'unica radice positiva dell'equazione \(\cosh(a\xi)-5=0\); risolvendo tale equazione si trova:
\[
\begin{split}
\cosh (a\xi) -5=0 \quad &\Leftrightarrow \quad e^{2a\xi} -10\ e^{a\xi}+1=0 \\
&\Leftrightarrow \quad e^{a\xi} = 5\pm \sqrt{24}\\
&\Leftrightarrow \quad e^{a\xi} = \begin{cases} 5 + \sqrt{24}\\
\frac{1}{5+\sqrt{24}} \end{cases}\\
&\Leftrightarrow \quad \xi = \begin{cases} \frac{1}{a}\ \log(5 + \sqrt{24})\\
-\frac{1}{a}\ \log(5+\sqrt{24}) \end{cases}
\end{split}
\]
quindi \(\xi (a) = \frac{1}{a}\ \log(5 + \sqrt{24})\).
L'ampiezza dell'intervallo in orizzontale è uguale a \(2\xi(a)\), quindi per determinare \(a\) basta risolvere:
\[
\frac{1}{a}\ \log(5 + \sqrt{24}) =3 \quad \Leftrightarrow \quad a=\frac{1}{3}\ \log(5 + \sqrt{24})\approx 0.764\; .
\]
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