Errore metodo di Eulero

[thedarkhero]

Se utilizzo il metodo di Eulero implicito con passo $h$ per calcolare la discretizzazione di una soluzione di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine $\{(y'(x)=f(x,y(x))),(y(x_0)=y_0):}$ con $f$ lineare in $y$ ottengo una successione ${(x_k,y_k)}_(k=1,...,N)$.
Chiaramente più è piccolo $h$ e minore sarà l'errore commesso...ma esiste una stima precisa dell'errore in funzione di $h$?

[Raptorista1]

Di sicuro esistono stime asintotiche, che portano a concludere che il metodo converge con ordine di convergenza 1.
Per una stima esatta, ti conviene cercare su qualche libro di numerica. Dopotutto, esistono per essere consultati

[thedarkhero]

Allora...la stima sull'errore è $e_(n+1)<=(1+hL)e_n+O(h^2)$ nel caso lipschitziano (dove L è la costante di Lipschitz di f) e $e_(n+1)<=e_n+O(h^2)$ nel caso dissipativo.
Ma cosa significa caso dissipativo?

[Raptorista1]

Mmm, su due piedi il termine non mi dice granché... Sicuro che non sia spiegato nel testo?

[thedarkhero]

Si, ad ogni modo mi è stato detto che il caso dissipativo corrisponde al fatto che la derivata di $f$ rispetto a $y$ sia negativa.
In tal caso si avrebbe la seguente stima sull'errore: $e_(n+1)<=e_n+delta_(n+1)(h)$ dove $delta_(n+1)(h)=O(h^2)$.
Dunque $max_(0<=n<=N){e_n}<=e_0+\sum_{n=1}^Ndelta_n(h)<=e_0+ch$...ma quanto vale $c$?

[Raptorista1]

Eh, la stima di \(c\) è un affare molto complicato, e quasi sicuramente dipende dal problema in esame, cioè dalla particolare ODE che stai approssimando.
Magari riesci a stimarla dall'alto usando il resto di Lagrange per qualche sviluppo di Taylor, ma non saprei dirtelo con certezza.