Errore di interpolazione

[gianpie1]

E' noto che l'errore che si commette nell'interpolare una funzione f(x) con un polinomio di grado n è


[tex]r(x) = f(x) - p_n(x)[/tex]

Inoltre se la funzione f(x) è di classe [tex]C^{(n+1)}[a,b][/tex] cioè ha (n+1) derivate continue nell'intervallo [tex][a,b][/tex]

Si può stimare e dare una maggiorazione all'errore.

posto
[tex]\pi_n(x) = (x - x_0)(x-x_1) ....(x - x_n)[/tex]

allora

[tex]r(x_i) = \pi_n(x_i) = 0[/tex]

dunque l'errore è nullo nei nodi dell'interpolazione.

Se [tex]x \neq x_i[/tex]

Si scrive una funzione nella variabile y

[tex]z(y) = r(y) - s(x)\pi_n(y)[/tex]

con [tex]s(x) =\frac{ r(x)}{\pi_n(x)}[/tex]

NB: s(x) è definita per [tex]x \neq x_i[/tex]


derivando (n+1) volte [tex]z(y)[/tex] dovrei dimostrare che

[tex]r(x) = \pi_n(x)\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}[/tex]

dove [tex]\xi[/tex] è un punto interno ad [tex][a,b][/tex]

Non ho capito come salta fuori quel (n+1)!

Potreste aiutarmi ???

[Raptorista1]

Siccome ogni volta che derivi un monomio l'esponente diventa un fattore moltiplicativo, da qualche parte avrai derivato tante volte un monomio del tipo \(x^{n+1}\)