Errore del metodo di Crank Nicolson
Il metodo di Crank Nicolson è un metodo alle differenze finite usato per risolvere numericamente equazioni differenziali.
Dato il problema ai valori iniziali ${(y'(t)=f(t,y(t))),(y(t_0)=y_0):}$ si vuole calcolare $y(T)$ (con $T>t_0$).
Fissato il passo $h$ si ha che $y(t+h)=y(t)+\int_t^(t+h)y'(s)ds=y(t)+\int_t^(t+h)f(s,y(s))ds$.
Ora si applica la formula dei trapezi per calcolare quell'integrale...sia $r(t)$ la retta che interpola i punti $(t,y'(t))$ e $(t+h,y'(t+h))$, allora $|\int_t^(t+h)y'(s)ds-\int_t^(t+h)r(s)ds|=|\int_t^(t+h)(y'(s)-r(s))ds|<=\int_t^(t+h)|y'(s)-r(s)|ds<=$
$<=\int_t^(t+h)||(y')''||_(oo)h^2/8ds$.
Non mi è chiaro il motivo dell'ultima maggiorazione...mi date un'indicazione?
Dato il problema ai valori iniziali ${(y'(t)=f(t,y(t))),(y(t_0)=y_0):}$ si vuole calcolare $y(T)$ (con $T>t_0$).
Fissato il passo $h$ si ha che $y(t+h)=y(t)+\int_t^(t+h)y'(s)ds=y(t)+\int_t^(t+h)f(s,y(s))ds$.
Ora si applica la formula dei trapezi per calcolare quell'integrale...sia $r(t)$ la retta che interpola i punti $(t,y'(t))$ e $(t+h,y'(t+h))$, allora $|\int_t^(t+h)y'(s)ds-\int_t^(t+h)r(s)ds|=|\int_t^(t+h)(y'(s)-r(s))ds|<=\int_t^(t+h)|y'(s)-r(s)|ds<=$
$<=\int_t^(t+h)||(y')''||_(oo)h^2/8ds$.
Non mi è chiaro il motivo dell'ultima maggiorazione...mi date un'indicazione?
Risposte
Credo che sia legato all'errore di integrazione del metodo dei trapezi.
Tra l'altro, nell'ultima espressione l'integranda è costante e quindi esce dall'integrale, lasciando una \(h\) che fa uscire l'\(h^3\) della formula dei trapezi.
Tra l'altro, nell'ultima espressione l'integranda è costante e quindi esce dall'integrale, lasciando una \(h\) che fa uscire l'\(h^3\) della formula dei trapezi.
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