Equazioni differenziali

[squalllionheart]

Salve ho un esercizio che non so risolvere sulle equazioni differenziali:

Si consideri il problema di Cauchy:
$\{(y'=f(x,y)),(y(0)=y_0):}$
ed il metodo
$\{ (\eta_(i+1)=\eta_i+h/2[f(x_i,\eta_i)+f(x_(i+1),\eta_(i+1))]),(\eta_0=y_0):}$

i) Stabilire se il metodo è implicito o esplicito;
ii)Posto $f=2x+1$, $y_0=0$ approsimare la soluzione del problema dato tramite il metodo fornito su punti $x_i=ih$ con $i=0...$

Allora:
i)Il metodo è implicito dato che $\eta_(i+1)$ si calcola attraverso se stessa, cioè abbiamo come argomento della $f$ $\eta_(i+1)$
ii) Ora qui ditemi dove sbaglio perche non capisco:
dato che $f=2x+1$ allora $f(x,y)=2x+1$ ORA SE NON DICO BESTIALITà SCAMBIO OGNI $f$ DEL METODO CON IL SUO PRIMO ARGOMETO MOLTIPLICATO PER DUE E SOMMATO DI 1
CIOè riscrivo:
$\{ (\eta_(i+1)=\eta_i+h/2[(2x_i+1)+2(x_(i+1)+1)]),(\eta_0=0):}$

Ora mi concentro sulla prima equazione:
$\eta_(i+1)=\eta_i+h/2[(2x_i+1)+2(x_(i+1)+1)]=\eta_i +2h(i+1)$


Segue che:
$\eta_(i+1)=\eta_i +2h(i+1)$
Imponendo la condizione iniziale $\eta_0=0$ ottengo
$\eta_(1)=\eta_0 +2h(i+1)=2h(i+1))$
$\eta_(2)=\eta_1 +2h(i+1)=2h(i+1)+2h(i+1)=4h(i+1)$
In generale quindi ho:
$\eta_(i)=2ih(i+1)$

Ora come proseguo, supponendo che fino a qui ho proceduto nel corretto modo?

[orazioster]

"squalllionheart":

Ora mi concentro sulla prima equazione:
$\eta_(i+1)=\eta_i+h/2[(2x_i+1)+2(x_(i+1)+1)]=\eta_i +2h(i+1)$

No:$x_i=ih$ ed $x_(i+1)=(i+1)h$.
Perciò $\eta_(i+1)=2h(ih+1)$