Equazione diffusione Condizioni al limite matlab

[mastro871]

Salve a tutti,
scrivo perché ho un problema nella soluzione dell'equazione di diffusione 1D, con matlab
Il problema è il seguente, per $t>0$ e $x\in[0,1]$:
$\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}=0$ con condizioni al limite $T(x=0,t)=T(x=1,t)=0$ e condizione iniziale $T(x,t=0)=\sin(\pix)$.
Ho risolto il problema con le eulero implicito per la parte temporale e derivata centrata per la derivata seconda.
Il problema che ritrovo è illustrato nelle immagini, per $\Delta t=0.1$
$\Deltax=0.005$

$\Deltax=0.01$

Quando scelgo un $\Delta x$ troppo alto, la soluzione non rispetta le condizioni al limite.
é normale o c'è qualche fenomeno che non prendo in considerazione ?
Grazie

[Raptorista1]

Come imponi le condizioni al bordo?

[mastro871]

Salve, grazie per la risposta, ecco il codice completo.
Inserisco le condizioni al limite come un termine noto supplementare nella parte dove risolvo il sistema implicito

clear all
close all
clc
L=1;
Dt=0.01;
alpha=1;
Dx=0.05;
N=ceil(L/Dx)-1;
s=alpha*Dt/Dx^2;% numero di Courant
x=linspace(0,1,N);
% VALORI PER LE CL DI DIRICHLET
cl1=0;
cl2=0;
for i=1:N
    for j=1:N
        if i==j
        A(i,j)=1+2*s;                    
        elseif j==i+1 || j==i-1
        A(i,j)=-s;
        end
    end
end
%%CI
U(:,1)=sin(pi*x);
%CL
CL=[cl1*s;zeros(N-2,1);cl2*s];
for t=1:20
    U(:,t+1)=A\(U(:,t)+CL);
end

[Raptorista1]

Detta così non mi suona familiare... Tra l'altro il tuo vettore CL è tutto zeri, quindi in questo caso è come se tu non stessi facendo proprio niente.

Il modo più comune per imporre le condizioni di Dirichlet con le differenze finite è di imporre direttamente il valore nel nodo interessato: in questo modo la prima riga della tua matrice \(A\) diventerebbe \((1 \ 0 \dots 0)\) ed il primo elemento del termine noto diventerebbe \(cl_1 = 0\); similmente il nodo finale.
Conosci questo metodo?

[mastro871]

Grazie della risposta, mi hai risolto un grosso dubbio !!
Ne approfitto per farti un'altra domanda, sul metodo di Crank-Nicolson.
Se lo impiqgo per risolvere il problema della diffusione con condizioni iniziali costanti a tratti e condizioni al limite di dirichlet, ottengo questa soluzione artistica:

Il problema che risolvo è,
$A_i U^{n+1}=A_e U^n$, (so che non é il massimo della vita)
Immagino che il problema sia sempre legato all'imposizione delle condizioni al limite ?
Il codice

L=1;
Dt=0.01;
alpha=1;
Dx=0.001;
N=ceil(L/Dx)-1;
s=alpha*Dt/Dx^2;
x=linspace(0,1,N);
cl1=6;
cl2=3;
for i=1:N
    for j=1:N
        if i==j
        AI(i,j)=1+s;    
        AE(i,j)=1-s;   
        elseif j==i+1 || j==i-1
        AI(i,j)=-s/2;
        AE(i,j)=s/2;
        end
    end
end
% CI
ispa=mod(N,2);
if ispa==0
U(:,1)=[cl1*ones(N/2,1);cl2*ones(N/2,1)];
else
    U(:,1)=[cl1*ones(ceil(N/2),1);cl2*ones(floor(N/2),1)];
end
AI(1,:)=[1,zeros(1,N-1)];
AI(N,:)=[zeros(1,N-1),1];
AE(1,:)=[1,zeros(1,N-1)];
AE(N,:)=[zeros(1,N-1),1];

for t=1:20
    U(:,t+1)=AI\(AE*U(:,t));
end