Equazione di secondo grado con eulero implicito
salve a tutti, sono nuovo e spero di scrivere le formule in modo chiaro. mi sto sforzando di usare i simboli laTex ma la vedo dura. All'esame di calcolo numerico c'era questo esercizio:
$\theta'' (t) + \theta(t) = 0$
$\theta ' (0) = 0$
$\theta (0) = \pi / 6 $
chiedeva di calcolare l'approssimazione della soluzione in $t = 1/10 $ con passo $h = 1/10 $
sono riuscito solo a trasformare il sistema in equzione di primo grado col cambio variabile, ma poi mi sono perso nell'applicazione versa e propria della formula implicita di eulero.
ringrazio vivamente chi avrà voglia di darmi una mano in questo.
$\theta'' (t) + \theta(t) = 0$
$\theta ' (0) = 0$
$\theta (0) = \pi / 6 $
chiedeva di calcolare l'approssimazione della soluzione in $t = 1/10 $ con passo $h = 1/10 $
sono riuscito solo a trasformare il sistema in equzione di primo grado col cambio variabile, ma poi mi sono perso nell'applicazione versa e propria della formula implicita di eulero.
ringrazio vivamente chi avrà voglia di darmi una mano in questo.
Risposte
Vediamo che problemi hai avuto nello scrivere la formula di Eulero.
grazie per la risposta,
ho applicato un cambio di variabili:
z1(t) = \theta(t)
z2(t) = \theta'(t)
z1'(t) = z2(t)
z2'(t) = - \theta'(t)
z10 = $ \pi / 6 $
z20 = 0
quando arrivo a scrivere la formula di eulero implicito per questo sistema trovo:
zn+1 = zn0 + h( f(tn+1, zn+1) con z'(t) = f(t, z(t))
ho intuito che serve un solo passo del metodo per approssimare la soluzione in 1/10 ma da qua in poi mi perdo
perché non so come sfruttare le condizioni al bordo per ricavare quanto vale la soluzione in 1/10
ho applicato un cambio di variabili:
z1(t) = \theta(t)
z2(t) = \theta'(t)
z1'(t) = z2(t)
z2'(t) = - \theta'(t)
z10 = $ \pi / 6 $
z20 = 0
quando arrivo a scrivere la formula di eulero implicito per questo sistema trovo:
zn+1 = zn0 + h( f(tn+1, zn+1) con z'(t) = f(t, z(t))
ho intuito che serve un solo passo del metodo per approssimare la soluzione in 1/10 ma da qua in poi mi perdo
perché non so come sfruttare le condizioni al bordo per ricavare quanto vale la soluzione in 1/10
Ecco, e chi sono le \(f\)? Nota che ci saranno una \(f_1\) ed una \(f_2\) per le due incognite!
P.s. Scrivi le formule come si deve!
P.s. Scrivi le formule come si deve!
mi scuso ancora per le formule, credo di iniziare a capirci qualcosa perciò spero di essere più chiaro:
applicando la formura di eulero implicito $ Z_(n+1) = Z_n + h * [t_(n+1), Z_(n+1)] $
ricavo:
per $ n= 0 $
$ Z_11 = [ ( Z_10) + 1/10* ( f_11)] $
$ z_21 = [ (Z_20) + 1/10 * (f_21) ] $
ho esplicato $ f_1 $ed $f_2 $per le due incognite al passo 1. Il mio problema è:
devo approssimare $ \theta (1/10) $ quindi lo ricavo dalla componente $ Z_11 $ ?
se sì, io so che $ f_11 = Z_21 $ e $ f_21 = - \theta(t) $ per il cambio di variabili e per le condizioni espresse in precedenza.
allora come si ricava $Z_11$ ? credo sia$ Z_11 = \pi/6 + 1/10 * ( Z_21 )$
ma $Z_21 = 0 + 1/10 * [- \theta (t_1) ] $ ed è proprio qua che mi blocco perchè non so come ricavare $ \theta(t_1) $
avendo di $ \theta $ solo la soluzione al tempo 0 ovvero $ \theta(0) = \pi/6 $
spero di essere stato chiaro
applicando la formura di eulero implicito $ Z_(n+1) = Z_n + h * [t_(n+1), Z_(n+1)] $
ricavo:
per $ n= 0 $
$ Z_11 = [ ( Z_10) + 1/10* ( f_11)] $
$ z_21 = [ (Z_20) + 1/10 * (f_21) ] $
ho esplicato $ f_1 $ed $f_2 $per le due incognite al passo 1. Il mio problema è:
devo approssimare $ \theta (1/10) $ quindi lo ricavo dalla componente $ Z_11 $ ?
se sì, io so che $ f_11 = Z_21 $ e $ f_21 = - \theta(t) $ per il cambio di variabili e per le condizioni espresse in precedenza.
allora come si ricava $Z_11$ ? credo sia$ Z_11 = \pi/6 + 1/10 * ( Z_21 )$
ma $Z_21 = 0 + 1/10 * [- \theta (t_1) ] $ ed è proprio qua che mi blocco perchè non so come ricavare $ \theta(t_1) $
avendo di $ \theta $ solo la soluzione al tempo 0 ovvero $ \theta(0) = \pi/6 $
spero di essere stato chiaro
\(\theta(t^1) = z_1(t^1)\). Il metodo di Eulero implicito ti porta ad un sistema di equazioni, possibilmente nonlineare, che tu devi risolvere in qualche modo.
Comunque la tua notazione è ancora confusionaria, quindi non sono sicuro di aver capito e risposto bene alla domanda.
Comunque la tua notazione è ancora confusionaria, quindi non sono sicuro di aver capito e risposto bene alla domanda.
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