Dubbio dimostrazione Errore di interpolazione

[layla901]

Buonasera a tutti!
Stavo guardando la dimostrazione della formula dell'errore di interpolazione in questa dispensa "http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/2-teaching/appunti.pdf"

Il mio dubbio riguarda il fatto che ad un certo punto viene detto che la funzione G(z,x) si annulla in n+2 punti e, per il teorema di Rolle, la sua derivata prima si annulla in n+1 punti. Non capisco quest'ultima affermazione.
Essendo la funzione continua e derivabile e applicando il teorema di Rolle in ciascun degli n+1 intervalli i cui estremi hanno lo stesso valore f(a)=f(b) =0, posso concludere che in ognuno di tali intervalli esiste ALMENO un punto in cui la derivata si annulla.
Se ne esiste solo uno per ogni intervallo sono d'accordo che la sua derivata si annullerà un n+1 punti ma per ogni intervallo ci potrebbero essere più di un punto in cui si annulla e alla fine la derivata potrebbe avere più di n+1 punti in cui si annulla.
Cosa mi sfugge?

Grazie a tutti per le eventuali risposte

[ariels.boiardi]

Non credo che l'unicità della radice sia rilevante, se anche ci fossero più zeri in ogni intervallo, e così ad ogni successiva derivazione della funzione $G$, comunque arriveremmo alla fine a dire che esiste \emph{almeno} un punto $\xi$ nell'intervallo coperto dai nodi in cui la $G^{(n+1)}(\xi)=0$. L'importante è l'esistenza, se anche hai $47$ punti in cui $G^{(n+1)}$ si azzera è uguale.

[layla901]

Ok, si hai ragione.
Probabilmente si intendeva che, anche considerando il caso peggiore di un solo zero della derivata in ogni intervallo, alla fine si arriva ad avere che la derivata di ordine n+1 si annullerà sicuramente (nel caso peggiore in un punto, altrimenti anche in più punti).
Grazie mille!