Dubbio calcolo numerico

ELWOOD1
Dovendo risolvere questo sistema di equazioni:

$350=h+(f_1*3000*Q_1^2)/(0,2*2gA_1^2) \ \ (1)$
$335=h+(f_2*5*Q_2^2)/(0,001*2gA_2^2) \ \ (2)$
$h=94+(f_3*10*Q_3^2)/(0,003*2gA_3^2) \ \ (3)$
$Q_1=Q_2+Q_3 \ \ (4)$

con
$f_1=0,024856$
$f_2=0,023404$
$f_3=0,026936$
$A_1=\frac{\pi*(0,2)^2}{4}=0,031416$
$A_2=\frac{\pi*(0,1)^2}{4}=0,007854$
$A_3=\frac{\pi*(0,3)^2}{4}=0,070696$

mediante l'ausilio di un calcolatore elettronico, nelle variabili $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$ e $h$

ottengo ovviamente 4 casistiche di risultati:

1.
$Q_1=-0,114436$
$Q_2=0,049524$
$Q_3=-0,064912$
$h=97,859212$

2.
$Q_1=-0,110067$
$Q_2=0,0475711$
$Q_3=-0,157578$
$h=116,742909$

3.
$Q_1=-0,110067$
$Q_2=-0,047511$
$Q_3=-0,157578$
$h=116,742909$

4.
$Q_1=0,114436$
$Q_2=-0,049524$
$Q_3=0,064912$
$h=97,859212$

Essendo $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$ delle portate devono essere positive, per cui sarei portato a tenere i risultati positivi, ma in questo caso in tutte le casistiche compare sempre perlomeno un risultato negativo, per questo non so quale quaterna di soluzioni considerare.

La soluzione corretta dovrebbe essere:

$Q_1=0,110067$
$Q_2=0,047511$
$Q_3=0,157578$
$h=116,742909$

ma non capisco come posso arrivarci senza sbagliarmi.

Vi ringrazio per le vostre delucidazioni.

Risposte
apatriarca
Come hai risolto le equazioni?

ELWOOD1
tramite la texas

apatriarca
Ma devi risolvere questo problema "a mano"? Pensavo dovessi implementare il tutto in un qualche programma.. Hai verificato che quei valori sono in effetti una soluzione?

ELWOOD1
Si è un tema di fluidodinamica e posso utilizzare una calcolatrice programmabile, che mi possa servire a risolvere sistemi del genere.

Nelle soluzioni di questo problema riporta quella, che differisce per segno da quelle che mi fornisce la calcolatrice...

apatriarca
Prima di preoccuparti di risolverlo con la calcolatrice, come lo risolveresti a mano? Per prima cosa riscriverei l'equazione in forma un po' diversa. Definisco le costanti
\[ \alpha = \frac{3000\,f_1}{0.2\,2\,g\,A^2_1}, \quad \beta = \frac{5\,f_2}{0.001\,2\,g\,A^2_2}, \quad \gamma = \frac{10\,f_3}{0.003\,2\,g\,A^2_3} \]
a questo punto ottieni il sistema
\[ \begin{cases} 350 &= h + \alpha\,Q_1 \\ 335 &= h + \beta\,Q_2 \\ 94 &= -h + \gamma\,Q_3 \\ 0 &= - Q_1 + Q_2 + Q_3. \end{cases} \]
Sistema lineare che è abbastanza facile da risolvere. Non è quindi chiaro perché la tua calcolatrice debba restituire più di un risultato.

ELWOOD1
Si ti chiedo umilmente scusa, ma ho modificato il post iniziale, le portate sono in forma quadratica.

apatriarca
La soluzione data dal tuo libro NON è soluzione del sistema che ci hai dato. L'ultima equazione non è infatti rispettata.

ELWOOD1
A dir il vero il libro non da la soluzione di $h$ mentre da invece i risultati delle portate che sono pari a quelle che ho postato

apatriarca
Mi riferisco infatti all'equazione $Q_1 = Q_2 +Q_3$. Sostituendo i risultati che hai dato come correnti, la relazione non è vera.

ELWOOD1
Si hai ragione e sono un'idiota, perchè l'ultima equazione è $Q_3=Q_1+Q_2$

Infatti tramite questa una delle casistiche è proprio la soluzione del libro.

In ogni caso può capitare che vi siano casistiche tra loro discordanti in segno?

Scusami ancora per averti fatto perdere tempo inutilmente. :oops:

apatriarca
Dal punto di vista matematico è perfettamente possibile che un'equazione abbia soluzioni che differiscano per dei segni.

ELWOOD1
Ok, comunque in generale le casistiche saranno o tutte positive o tutte negative giusto?

apatriarca
Immagino dipenda dal problema, in questo caso credo debbano essere tutte positive. Ma non hai descritto molto bene la situazione e probabilmente mi sbaglio. Dovrebbe essere il problema a dirti quali soluzioni sono accettabili e quali no.

ELWOOD1
E' proprio quello il punto, grazie comunque dell'attenzione.

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