Distribuzioni
Perchè in ambito distribuzionale non esiste il concetto di limite?
Risposte
Non lo sa nessuno?
in che senso? puoi fare il limite di una successione di distribuzioni (ovviamente in senso *-debole)!
Il tutto masce dalla non esuistenza delle condizioni iniziali nelle equazioni differenziali in ambito distribuzionale => ho dedotto che non esiste il conceto di limite.
Certo che esiste il concetto di limite. Ad esempio consideriamo la successione di distribuzioni:
$ f_n \ : \ < f_n , v > = \int_{-1/n}^{1/n} 2/{n} v(x) dx \qquad \qquad n \geq 1$
per ogni $v \in \mathcal{D}(RR)$. Ovvero $f_n$ corrisponde alla funzione $L_{loc}^1(RR)$:
$ f_n(x) = 2/n \chi_{(-1/n,1/n)} (x) $
abbiamo:
$ \lim_{n\to \infty} f_n = \delta \qquad \qquad \text{in: } \mathcal{D}'(RR)$
essendo $\delta$ la distribuzione Delta di Dirach.
Quello che semmai non esiste è il "limite puntuale" ovvero qualche cosa del tipo:
$ \lim_{x\to x_0} g (x) $
essendo $g$ una distribuzione. Questo perché la scrittura $g(x)$ non è da interpretarsi, nel caso delle distribuzioni, come $x \mapsto g(x)$, ma ha un significato solo simbolico nel senso che:
$ < g , v > = \int_{\RR} g(x) v(x) dx $
qualora $g$ fosse $L_{loc}^1(RR)$. Non ha senso valutare una distribuzione in un punto, visto che la distribuzione è un oggetto che agisce su $\mathcal{D}(RR)$, non una funzione. Per tanto il "limite puntuale" non può esistere, esattamente come non ha senso chiedersi:
$ \lim_{x\to x_0} \text{matematicamente.it} $
Il "vero" limite nel caso delle distribuzioni, essendo queste funzioni che vivono su $\mathcal{D}$ è, se mai, una cosa del tipo:
$ \lim_{v \to v_0} < g , v > \qquad g \in \mathcal{D}'(RR) \quad v,v_0 \in \mathcal{D}(RR) $
e se già in $RR^2$ è un bel problema calcolare i limiti, in uno spazio con una nozione complicata come lo è quella in $\mathcal{D}$ deve essere un incubo!
$ f_n \ : \ < f_n , v > = \int_{-1/n}^{1/n} 2/{n} v(x) dx \qquad \qquad n \geq 1$
per ogni $v \in \mathcal{D}(RR)$. Ovvero $f_n$ corrisponde alla funzione $L_{loc}^1(RR)$:
$ f_n(x) = 2/n \chi_{(-1/n,1/n)} (x) $
abbiamo:
$ \lim_{n\to \infty} f_n = \delta \qquad \qquad \text{in: } \mathcal{D}'(RR)$
essendo $\delta$ la distribuzione Delta di Dirach.
Quello che semmai non esiste è il "limite puntuale" ovvero qualche cosa del tipo:
$ \lim_{x\to x_0} g (x) $
essendo $g$ una distribuzione. Questo perché la scrittura $g(x)$ non è da interpretarsi, nel caso delle distribuzioni, come $x \mapsto g(x)$, ma ha un significato solo simbolico nel senso che:
$ < g , v > = \int_{\RR} g(x) v(x) dx $
qualora $g$ fosse $L_{loc}^1(RR)$. Non ha senso valutare una distribuzione in un punto, visto che la distribuzione è un oggetto che agisce su $\mathcal{D}(RR)$, non una funzione. Per tanto il "limite puntuale" non può esistere, esattamente come non ha senso chiedersi:
$ \lim_{x\to x_0} \text{matematicamente.it} $
Il "vero" limite nel caso delle distribuzioni, essendo queste funzioni che vivono su $\mathcal{D}$ è, se mai, una cosa del tipo:
$ \lim_{v \to v_0} < g , v > \qquad g \in \mathcal{D}'(RR) \quad v,v_0 \in \mathcal{D}(RR) $
e se già in $RR^2$ è un bel problema calcolare i limiti, in uno spazio con una nozione complicata come lo è quella in $\mathcal{D}$ deve essere un incubo!
allora non ho capito coma mai non esistono le condizioni iniziali,voi lo sapete?
semplicemente le distribuzioni su un aperto NON SONO DEFINITE sul bordo di quell'aperto (le funzioni $C^\infty_c$ "moralmente" ti permettono di guardare le distribuzioni solo allontanandoti un po' dalla frontiera)
"irenze":
semplicemente le distribuzioni su un aperto NON SONO DEFINITE sul bordo di quell'aperto (le funzioni $C^\infty_c$ "moralmente" ti permettono di guardare le distribuzioni solo allontanandoti un po' dalla frontiera)
è questa la motivazione?
"Ainéias":
Il tutto masce dalla non esuistenza delle condizioni iniziali nelle equazioni differenziali in ambito distribuzionale => ho dedotto che non esiste il conceto di limite.
Scusa non avevo letto questa parte quando ho risposto prima....
Le condizioni iniziali o al bordo in ambito distribuzionale si possono assegnare, ma è veramente un casino giustificarle dal punto di vista teorico. Nel senso che dare un significato preciso e rigoroso all'idea di condizione iniziale richiede un grosso sforzo matematico...
"david_e":
[quote="Ainéias"]Il tutto masce dalla non esuistenza delle condizioni iniziali nelle equazioni differenziali in ambito distribuzionale => ho dedotto che non esiste il conceto di limite.
Scusa non avevo letto questa parte quando ho risposto prima....
Le condizioni iniziali o al bordo in ambito distribuzionale si possono assegnare, ma è veramente un casino giustificarle dal punto di vista teorico. Nel senso che dare un significato preciso e rigoroso all'idea di condizione iniziale richiede un grosso sforzo matematico...[/quote]
Quindi se all'orale mi venisse fatta questa domanda?cosa dovrei rispondere?
"Ainéias":
[quote="david_e"][quote="Ainéias"]Il tutto masce dalla non esuistenza delle condizioni iniziali nelle equazioni differenziali in ambito distribuzionale => ho dedotto che non esiste il conceto di limite.
Scusa non avevo letto questa parte quando ho risposto prima....
Le condizioni iniziali o al bordo in ambito distribuzionale si possono assegnare, ma è veramente un casino giustificarle dal punto di vista teorico. Nel senso che dare un significato preciso e rigoroso all'idea di condizione iniziale richiede un grosso sforzo matematico...[/quote]
Quindi se all'orale mi venisse fatta questa domanda?cosa dovrei rispondere?[/quote]
che non hai avuto il tempo di leggere tutti e tre i volumi della Teoria delle Distribuzioni di L.Schwartz...
"Ainéias":
[quote="david_e"][quote="Ainéias"]Il tutto masce dalla non esuistenza delle condizioni iniziali nelle equazioni differenziali in ambito distribuzionale => ho dedotto che non esiste il conceto di limite.
Scusa non avevo letto questa parte quando ho risposto prima....
Le condizioni iniziali o al bordo in ambito distribuzionale si possono assegnare, ma è veramente un casino giustificarle dal punto di vista teorico. Nel senso che dare un significato preciso e rigoroso all'idea di condizione iniziale richiede un grosso sforzo matematico...[/quote]
Quindi se all'orale mi venisse fatta questa domanda?cosa dovrei rispondere?[/quote]
All'orale ti conviene rispondere quello che il prof vuole sentire... nel senso che se vi hanno detto che le equazioni distribuzionali non hanno condizioni iniziali rispondigli questo. Comunque sarebbe una domanda veramente cattiva e, a dire il vero, non saprei neanche io come rispondere esattamente: le uniche condizioni al bordo distribuzionali che so giustificare sono quella di Dirichlet omogenea e quella di Neumann (e si tira fuori una versione di Gauss-Green distribuzionale di cui sinceramente non ho la più pallida idea di come si dimostri).
ok grazie ad entrambi
Una risposta corretta che segue dall'uso che si fa della Teoria delle distribuzioni è che le condizioni al bordo per una pde sono già dentro nell'equazione distribuzionale stessa; pensa solo alla forma debole di una equazione ellittica; per ambientare il tutto ti devi mettere in spazi di funzioni con già le condizioni al bordo fissate.
"Luca.Lussardi":
Una risposta corretta che segue dall'uso che si fa della Teoria delle distribuzioni è che le condizioni al bordo per una pde sono già dentro nell'equazione distribuzionale stessa; pensa solo alla forma debole di una equazione ellittica; per ambientare il tutto ti devi mettere in spazi di funzioni con già le condizioni al bordo fissate.
Si appunto per poter assegnare le condizioni al bordo è necessaria una buona dose di Matematica!
Però rimango perplesso dalla domanda di Enea.... perchè chiede il motivo per cui non esiste il concetto di limite. Che fare limiti di distribuzioni abbia scarso interesse sono d'accordo, però sul concetto di limite non so....
"Luca.Lussardi":
Però rimango perplesso dalla domanda di Enea.... perchè chiede il motivo per cui non esiste il concetto di limite. Che fare limiti di distribuzioni abbia scarso interesse sono d'accordo, però sul concetto di limite non so....
Beh non certo il "limite puntule"... credo...
La mia domanda nasce dal fatto di non sapermi spiegare come mai nel risolvere una equazione differenziale in ambito distribuzionale il prof ci ha detto che se si risolve con la trasformata di Laplace,le formule sono identiche ma non bisogna tener conto delle condizioni iniziali.Chiaro adesso?
Non ho fatto granché in merito, il mio professore ha solo accennato a queste cose. L'unica cosa che posso dirti è che in ambito distribuzionale la seconda formula fondamentale per la trasformata di Laplace (quella che dà la trasformata unilatera della derivata) è diversa dalla formula classica per le funzioni assolutamente continue. Se restringiamo la nostra attenzione alla trasformata unilatera, detta $x$ una generica distribuzione nulla in $]-oo,0[$, risulta
$L_u[x'] = sX(s)$
ed è chiaro come in questa formula non si tenga conto di eventuali valori di $x$ in $0$. A rigore di logica è chiaro... anzi, sarebbe strano se ti tentasse di assegnare un valore a una distribuzione in un punto!! Infatti l'abitudine ormai comune di indicare le distribuzioni con la notazione propria delle funzioni ordinare (ad esempio $delta(t)$) è in realtà un abuso di notazione... abuso giustificato dal fatto che le distribuzioni regolari (quindi non la delta) sono effettivamente funzioni ordinarie; tuttavia occorre avere chiaro che le distribuzioni non sono funzioni ordinarie, ma oggetti esoterici che non possono esistere da soli, mentre assumono significato quando si specifica la funzione test su cui essere operano.
Tornando ai problemi di Cauchy, occorre ricordare che la trasformazione unilatera di Laplace in ambito distribuzionale è ancora iniettiva.
Alla luce di quanto detto, si può considerare il problema di Cauchy
$D[y] = delta(t)$ con $y$ distribuzione nulla in $]-oo,0[$ e $D$ operatore differenziale lineare a coefficienti costanti
e dare un senso a quella che nel calcolo della risposta per sistemi lineari stazionari è nota come la celeberrima "risposta impulsiva".
Ho un po' allargato il discorso ma è tutto quello che so.
$L_u[x'] = sX(s)$
ed è chiaro come in questa formula non si tenga conto di eventuali valori di $x$ in $0$. A rigore di logica è chiaro... anzi, sarebbe strano se ti tentasse di assegnare un valore a una distribuzione in un punto!! Infatti l'abitudine ormai comune di indicare le distribuzioni con la notazione propria delle funzioni ordinare (ad esempio $delta(t)$) è in realtà un abuso di notazione... abuso giustificato dal fatto che le distribuzioni regolari (quindi non la delta) sono effettivamente funzioni ordinarie; tuttavia occorre avere chiaro che le distribuzioni non sono funzioni ordinarie, ma oggetti esoterici che non possono esistere da soli, mentre assumono significato quando si specifica la funzione test su cui essere operano.
Tornando ai problemi di Cauchy, occorre ricordare che la trasformazione unilatera di Laplace in ambito distribuzionale è ancora iniettiva.
Alla luce di quanto detto, si può considerare il problema di Cauchy
$D[y] = delta(t)$ con $y$ distribuzione nulla in $]-oo,0[$ e $D$ operatore differenziale lineare a coefficienti costanti
e dare un senso a quella che nel calcolo della risposta per sistemi lineari stazionari è nota come la celeberrima "risposta impulsiva".
Ho un po' allargato il discorso ma è tutto quello che so.
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