Derivate e rapporti incrementali in analisi numerica
Su una dispensa che sto leggendo ho trovato una proposizione che non mi convince per niente:
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
Dim.: siccome $lim_{x\toalpha}(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)=|Phi'(alpha)|<=k$ allora eccetera eccetera.
Che mi pare falso: controesempio $Phi(x)=x^2$, $alpha=0$. $|Phi'(alpha)|<=0$ ma non per questo $Phi$ è identicamente nulla come vorrebbe questo enunciato. Correggetemi se sbaglio per favore!
__________________________________________
Questo risultato si usa successivamente per dare un criterio di stop ad un metodo iterativo. In sostanza si tratta di stabilire quando una successione ricorsiva convergente si è avvicinata abbastanza al punto limite. Quindi: supponiamo di avere una successione ricorsiva $(x_n):{(x_0\ "fissato"),(x_{n+1}=Phi(x_n)):}$, convergente ad $alpha$ , punto fisso di $Phi$. Supponiamo inoltre che $|Phi'(alpha)|<=k<1$. Allora, per il teorema di prima, quando $n$ è abbastanza grande possiamo stimare la distanza $|x_n-alpha|<=|x_n-x_{n+1}|+|x_{n+1}-alpha|<=|x_n-x_{n+1}|+k|x_n-alpha|$. Con un'altra applicazione del teorema, otteniamo $|x_n-alpha|<=k/(1-k)|x_n-x_{n-1}|$, perciò possiamo fermare l'algoritmo quando $k/(1-k)|x_n-x_{n-1}|
Andrebbe tutto bene se invece di chiedere $|Phi'(alpha)|<=k$ chiedessimo $|Phi'(alpha)|
Sull'esempio che fai non ci piove. Anche se non mi "allargherei" troppo (parlare di "identicamente nulla" è un po' tanto. L'enunciato porterebbe ad affermare che $x^2$ è identicamente nulla in un intorno di 0. Sempre falso è, ma un po' meno falso
)
Secondo me nella disuguaglianza relativa al rapporto incrementale la k non c'è. Prova a ricontrollare il testo. Se c'è, allora può essere un effetto della temibile coppia Cut e Paste.
Ovviamente la disuguaglianza sul rapporto incrementale vale per 1, ma anche per $(1+k)/2$.
Ne approfitto per sottolineare una cosa nasometrica utile (anche se ben nota alla stagande maggioranza di chi gia da queste parti): se uno vede un $\le k < 1$, vuol dire che ha bisogno di tenersi lontano da 1. Non può rischiae di avvicinarsi a 1.
Forse non ho capito io cosa volevi dire.
Sono andato a riguardare (per conferma) il libro del Bini (e.a.) "Metodi Numerici" che se non sbaglio usate anche voi.
Il teorema 3.3 (c.s. per la convergenza di un metodo di iterazione funzionale) usa la proprietà che dicevi tu (trattandola come conseguenza del teorema del valore medio) per dimostrare la convergenza di un metodo. L'esercizio 3.2 a fine capitolo dice che in realtà basta che g sia localmente lipschitziana con costante di Lipschitz minore di 1.
Detto questo faccio riferimento a ciò che hai scritto te:
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
Se sei nelle ipotesi di classe $C^1$ allora usi il teorema di Lagrange (o del valor medio) e hai finito.
Se non lo vuoi usare, devi lavorare con il limite come avevi incominciato a scrivere.
Ma se non ricordo male il teorema di Lagrange nelle sue ipotesi non richiede che la funzione sia di classe $C^1$ ma solo che sia continua e derivabile (nella parte interna dell'intervallo). Non ne sono sicuro, domani controllo.
Poi la nullità della funzione non capisco da dove la prendi. Mi sembra di non afferrare ciò di cui si parla...
Per quanto riguarda la condizione di arresto, nel caso che la costante L sia vicina a 1 quella condizione potrebbe non risultare mai verificata per particolari successioni "patologiche". Dunque come criterio di arresto potrebbe non funzionare. Anche questo domani lo verifico per bene...
Potresti darmi il link della dispensa a cui fai riferimento, grazie!
Scusa, Fioravante, non ho capito quest'ultima parte. Nel programma di analisi numerica che ho portato all'esame l'analisi degli errori occupava un posto notevole e il riferimento era sempre la precisione di macchina con cui un ipotetico calcolatore effettua i calcoli. Forse ho frainteso io ciò che volevi dire.
E questo, scritto così, è falso. Per esempio, $Phi(x):=x^2$. 0 è un punto fisso, $Phi$ è derivabile in 0, $|Phi'(0)|=0<1$. Prendiamo allora $k=0$, secondo questa frase dovrei poter dire che in un intorno di 0 $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=0$ cioè $(|x^2-0|)/(|x-0|)<=0$ quindi $|x^2|<=0$ in tutto l'intorno (non identicamente come avevo detto prima! M'ero sbagliato
). Leggendo più avanti la mia dispensa, che tra l'altro è scritta a macchina e quindi non è reperibile in rete, capisco che quello che ci serve è in effetti una costante di Lipschitz (almeno) locale della $Phi$. Se questa è $<1$ allora il metodo converge e possiamo ricavare un sacco di informazioni sull'errore analitico e sulla stabilità. Mi pare di capire che tu questo me lo confermi.
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
Dim.: siccome $lim_{x\toalpha}(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)=|Phi'(alpha)|<=k$ allora eccetera eccetera.
Che mi pare falso: controesempio $Phi(x)=x^2$, $alpha=0$. $|Phi'(alpha)|<=0$ ma non per questo $Phi$ è identicamente nulla come vorrebbe questo enunciato. Correggetemi se sbaglio per favore!
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Questo risultato si usa successivamente per dare un criterio di stop ad un metodo iterativo. In sostanza si tratta di stabilire quando una successione ricorsiva convergente si è avvicinata abbastanza al punto limite. Quindi: supponiamo di avere una successione ricorsiva $(x_n):{(x_0\ "fissato"),(x_{n+1}=Phi(x_n)):}$, convergente ad $alpha$ , punto fisso di $Phi$. Supponiamo inoltre che $|Phi'(alpha)|<=k<1$. Allora, per il teorema di prima, quando $n$ è abbastanza grande possiamo stimare la distanza $|x_n-alpha|<=|x_n-x_{n+1}|+|x_{n+1}-alpha|<=|x_n-x_{n+1}|+k|x_n-alpha|$. Con un'altra applicazione del teorema, otteniamo $|x_n-alpha|<=k/(1-k)|x_n-x_{n-1}|$, perciò possiamo fermare l'algoritmo quando $k/(1-k)|x_n-x_{n-1}|
Andrebbe tutto bene se invece di chiedere $|Phi'(alpha)|<=k$ chiedessimo $|Phi'(alpha)|
Risposte
Non riesco a capire dove dica che $Phi$ è identicamente nulla.
Quello che afferma è niente di più, niente di meno del teorema di Lagrange che si studia ad analisi 1.
Dove sta scritto "è identicamente nulla"???
Il criterio di arresto che viene specificato mi sembra non funzioni in generale, però devo pensarci. Poi ti faccio sapere.
Perhcè ci vuoi mettere il minore stretto? Che ti ha fatto il k che non lo vuoi considerare? Sai che k<1 quindi tutto ciò che è $<=k$ è <1.
Quello che afferma è niente di più, niente di meno del teorema di Lagrange che si studia ad analisi 1.
Dove sta scritto "è identicamente nulla"???
Il criterio di arresto che viene specificato mi sembra non funzioni in generale, però devo pensarci. Poi ti faccio sapere.
Perhcè ci vuoi mettere il minore stretto? Che ti ha fatto il k che non lo vuoi considerare? Sai che k<1 quindi tutto ciò che è $<=k$ è <1.
"dissonance":
Su una dispensa che sto leggendo ho trovato una proposizione che non mi convince per niente:
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
Dim.: siccome $lim_{x\toalpha}(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)=|Phi'(alpha)|<=k$ allora eccetera eccetera.
Che mi pare falso: controesempio $Phi(x)=x^2$, $alpha=0$. $|Phi'(alpha)|<=0$ ma non per questo $Phi$ è identicamente nulla come vorrebbe questo enunciato. Correggetemi se sbaglio per favore!
Sull'esempio che fai non ci piove. Anche se non mi "allargherei" troppo (parlare di "identicamente nulla" è un po' tanto. L'enunciato porterebbe ad affermare che $x^2$ è identicamente nulla in un intorno di 0. Sempre falso è, ma un po' meno falso
)Secondo me nella disuguaglianza relativa al rapporto incrementale la k non c'è. Prova a ricontrollare il testo. Se c'è, allora può essere un effetto della temibile coppia Cut e Paste.
Ovviamente la disuguaglianza sul rapporto incrementale vale per 1, ma anche per $(1+k)/2$.
Ne approfitto per sottolineare una cosa nasometrica utile (anche se ben nota alla stagande maggioranza di chi gia da queste parti): se uno vede un $\le k < 1$, vuol dire che ha bisogno di tenersi lontano da 1. Non può rischiae di avvicinarsi a 1.
@Megan00b: non è che me la prendo col $k$ perché mi sta antipatico!!! Il fatto è che mi serve un valore con cui poter dominare l'errore di troncamento: $|x_n-alpha|<=L/(1-L)|x_n-x_{n-1}|$. Se uno mi scrive $|Phi'(alpha)|<=k$ vuol dire che come $L$ posso prendere $k$, se ci mette il minore stretto devo prendere un valore più grande.
Tu mi dirai: ma dal punto di vista numerico, che cambia? E in effetti la risposta è: niente. Io a priori mica lo so quanto vale $|Phi'(alpha)|$ (e un risultato esatto non lo avrò neanche alla fine del procedimento). Perciò come bound per misurare l'errore prenderò una stima.
Per la cronaca, la disuguaglianza di prima (criterio di stop) non segue neanche dal teoremino citato, ma dalla locale Lipschitzianità della $Phi$ in un intorno di $alpha$. A voler essere rigorosi allora ci vuole che $Phi$ sia $C^1$ e che localmente la sua derivata prima "si tenga lontana da 1". Ma ho l'impressione che in questo ambito numerico, a voler essere troppo rigorosi semplicemente non si farebbe niente!
Tu mi dirai: ma dal punto di vista numerico, che cambia? E in effetti la risposta è: niente. Io a priori mica lo so quanto vale $|Phi'(alpha)|$ (e un risultato esatto non lo avrò neanche alla fine del procedimento). Perciò come bound per misurare l'errore prenderò una stima.
Per la cronaca, la disuguaglianza di prima (criterio di stop) non segue neanche dal teoremino citato, ma dalla locale Lipschitzianità della $Phi$ in un intorno di $alpha$. A voler essere rigorosi allora ci vuole che $Phi$ sia $C^1$ e che localmente la sua derivata prima "si tenga lontana da 1". Ma ho l'impressione che in questo ambito numerico, a voler essere troppo rigorosi semplicemente non si farebbe niente!
"dissonance":
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
Dim.: siccome $lim_{x\toalpha}(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)=|Phi'(alpha)|<=k$ allora eccetera eccetera.
Che mi pare falso: controesempio $Phi(x)=x^2$, $alpha=0$. $|Phi'(alpha)|<=0$ ma non per questo $Phi$ è identicamente nulla come vorrebbe questo enunciato. Correggetemi se sbaglio per favore!
Forse non ho capito io cosa volevi dire.
Sono andato a riguardare (per conferma) il libro del Bini (e.a.) "Metodi Numerici" che se non sbaglio usate anche voi.
Il teorema 3.3 (c.s. per la convergenza di un metodo di iterazione funzionale) usa la proprietà che dicevi tu (trattandola come conseguenza del teorema del valore medio) per dimostrare la convergenza di un metodo. L'esercizio 3.2 a fine capitolo dice che in realtà basta che g sia localmente lipschitziana con costante di Lipschitz minore di 1.
Detto questo faccio riferimento a ciò che hai scritto te:
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
Se sei nelle ipotesi di classe $C^1$ allora usi il teorema di Lagrange (o del valor medio) e hai finito.
Se non lo vuoi usare, devi lavorare con il limite come avevi incominciato a scrivere.
Ma se non ricordo male il teorema di Lagrange nelle sue ipotesi non richiede che la funzione sia di classe $C^1$ ma solo che sia continua e derivabile (nella parte interna dell'intervallo). Non ne sono sicuro, domani controllo.
Poi la nullità della funzione non capisco da dove la prendi. Mi sembra di non afferrare ciò di cui si parla...
Per quanto riguarda la condizione di arresto, nel caso che la costante L sia vicina a 1 quella condizione potrebbe non risultare mai verificata per particolari successioni "patologiche". Dunque come criterio di arresto potrebbe non funzionare. Anche questo domani lo verifico per bene...
Potresti darmi il link della dispensa a cui fai riferimento, grazie!
No, dissonance.
L'analisi numerica è rigorosa come gli altri pezzi della matematica.
Se un analista numerico dice che una cosa è un teorema, a meno di sviste è un teorema con la stessa identica solidità di ogni altro teorema di mate.
Che poi uno a volte debba giungere a "compromessi", perché non si riesce, ad esempio, a garantire la validità di un criterio d'arresto, può essere vero. Ma lo si sa e lo si dice. E, poi, questo riguarda ben alti contesti, di molto maggiore difficoltà che non quello di cui state parlando ora.
Ultima considerazione: l'analisi numerica "di per sé" non si occupa degli errori dovuti alla rappresentazione dei numeri con uno strumento barbaro che permette di usare solo un numero finito di simboli a tale scopo (di solito i simboli usati sono 0 e 1). [sto un po' esagerando...]
Tuttavia, dato il contesto storico, viene anche affrontato questo problema. E, anche qui, con il livello standard di rigore matematico.
L'analisi numerica è rigorosa come gli altri pezzi della matematica.
Se un analista numerico dice che una cosa è un teorema, a meno di sviste è un teorema con la stessa identica solidità di ogni altro teorema di mate.
Che poi uno a volte debba giungere a "compromessi", perché non si riesce, ad esempio, a garantire la validità di un criterio d'arresto, può essere vero. Ma lo si sa e lo si dice. E, poi, questo riguarda ben alti contesti, di molto maggiore difficoltà che non quello di cui state parlando ora.
Ultima considerazione: l'analisi numerica "di per sé" non si occupa degli errori dovuti alla rappresentazione dei numeri con uno strumento barbaro che permette di usare solo un numero finito di simboli a tale scopo (di solito i simboli usati sono 0 e 1). [sto un po' esagerando...]
Tuttavia, dato il contesto storico, viene anche affrontato questo problema. E, anche qui, con il livello standard di rigore matematico.
"Fioravante Patrone":
Ultima considerazione: l'analisi numerica "di per sé" non si occupa degli errori dovuti alla rappresentazione dei numeri con uno strumento barbaro che permette di usare solo un numero finito di simboli a tale scopo (di solito i simboli usati sono 0 e 1). [sto un po' esagerando...]
Tuttavia, dato il contesto storico, viene anche affrontato questo problema. E, anche qui, con il livello standard di rigore matematico.
Scusa, Fioravante, non ho capito quest'ultima parte. Nel programma di analisi numerica che ho portato all'esame l'analisi degli errori occupava un posto notevole e il riferimento era sempre la precisione di macchina con cui un ipotetico calcolatore effettua i calcoli. Forse ho frainteso io ciò che volevi dire.
no, va benissimo
è che per me l'analisi numerica si occupa di algoritmi di risoluzione
che poi accidentalmente viviamo in un periodo (un battere d'ali, per me che mi friggevo i trilobiti) in cui per colpa di Turing la digitalizzazione la fa da padrona, è un alto discorso
e questo condiziona i libri di testo e i programmi che sono schiacciati sull'attualità
è che per me l'analisi numerica si occupa di algoritmi di risoluzione
che poi accidentalmente viviamo in un periodo (un battere d'ali, per me che mi friggevo i trilobiti) in cui per colpa di Turing la digitalizzazione la fa da padrona, è un alto discorso
e questo condiziona i libri di testo e i programmi che sono schiacciati sull'attualità
uhm...se inventano un modo per implementare quegli algoritmi su macchine non finite così da non doversi preoccupare più degli errori vado lì e le distruggo a martellate. Dopo la noia di analisi ed analisi di errori (tipo quelle del metodo di Gauss che sono una tunnel di conti senza uscita)....
"Megan00b":
Detto questo faccio riferimento a ciò che hai scritto te:
se $|Phi'(alpha)|<=k<1$, allora esiste un intorno di $alpha$ in cui $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=k<1$.
E questo, scritto così, è falso. Per esempio, $Phi(x):=x^2$. 0 è un punto fisso, $Phi$ è derivabile in 0, $|Phi'(0)|=0<1$. Prendiamo allora $k=0$, secondo questa frase dovrei poter dire che in un intorno di 0 $(|Phi(x)-Phi(alpha)|)/(|x-alpha|)<=0$ cioè $(|x^2-0|)/(|x-0|)<=0$ quindi $|x^2|<=0$ in tutto l'intorno (non identicamente come avevo detto prima! M'ero sbagliato
). Leggendo più avanti la mia dispensa, che tra l'altro è scritta a macchina e quindi non è reperibile in rete, capisco che quello che ci serve è in effetti una costante di Lipschitz (almeno) locale della $Phi$. Se questa è $<1$ allora il metodo converge e possiamo ricavare un sacco di informazioni sull'errore analitico e sulla stabilità. Mi pare di capire che tu questo me lo confermi.
Sì te lo confermo. Però la cosa in quote non è falsa è quello di $x^2$ non è un controesempio. Infatti l'intorno in cui |x^2|<=0 ce l'hai ed è un intorno "degenere" di centro 0 e raggio 0. E c'era da aspettarselo, parlando di funzioni continue e spingendo al limite quel risultato. Unica considerazione plausibile che mi viene in mente in questo caso è osservare che tutta il rapporto incrementale che hai scritto in 0 ha poco senso se $alpha$ vale 0. Quindi non puoi lavorare algebricamente ma solo al limite.
E il limite di un intorno che si stringe sempre di più è il suo centro.
Scusa se l'ho detto in maniera poco formale ma spero di essere stato chiaro.
E il limite di un intorno che si stringe sempre di più è il suo centro.
Scusa se l'ho detto in maniera poco formale ma spero di essere stato chiaro.
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