Derivata errore interpolazione polinomiale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto sul mio testo, come purtroppo spesso accade nei libri di analisi numerica, senza dimostrazione, che, se $f\inC^{n+1}[a,b]$, esistono due punti \(\xi=\xi(x)\in [a,b]\) e \(\eta=\eta(x)\in [a,b]\) e tale che l'errore di discretizzazione \(E'(x)=f'(x)-p'_n(x)\) che si commette approssimando la derivata $f'$ con la derivata del polinomio interpolatore, costruito su $n$ nodi*, $p_n'$ è dato da\[E'(x)=\frac{\pi_n'(x)}{n!}f^{(n)}(\xi(x))+\frac{\pi_n(x)}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\eta(x)) \]
Ora, so, e il mio libro dimostra (basicamente con la dimostrazione fornita qui, teorema 2), che esiste un punto \(\xi=\xi(x)\in [a,b]\) tale che $E(x)=\frac{\pi_n(x)}{n!}f^{(n)}(\xi(x))$, ma non riesco ad adattare questo tipo di dimostrazione, né a trovarne un'altra: ho provato considerando resti di Lagrange di formule di Taylor e vari artifici, ma non ne vengo a capo...
Qualcuno ne conosce o saprebbe indicarmi qualche link ad una dimostrazione di questa formula?
$\infty$ grazie a tutti!!!

*Quindi $p_n\in\mathbb{P}_{n-1}$.

[Lory314]

Ti butto lì un'idea che però non riesco a completare: ho provate a derivare la formula di $E(x)$. Ottengo:
$
E'(x) = \frac{\pi'_n(x)}{n!}f^{(n)}(\xi(x)) + \frac{\pi_n(x)}{n!}\frac{\partial}{\partial x}f^{(n)}(\xi(x))
$
che è molto simile alla tesi. Se questa strada è giusta, bisognerebbe lavorare solo sulla derivata $n+1$ di $f$ per ottenere la tesi. Solo che al momento non ho in mente come fare.

[DavideGenova1]

$+\infty$ grazie, Lory!
In effetti è proprio uno dei tentativi che ho fatto, ma neanch'io saprei come procedere oltre...
Che frustrazione le formule esposte senza dimostrazione, come se non fosse la parte più affascinante del fare matematica, nei testi di analisi numerica...