Correzione esercizio metodo di punto fisso
Ciao ragazzi.
Da poco ho fatto l'esame di analisi 2 e calcolo numerico e ora sto cercando di correggere il compito in vista dell'orale.
In particolare non sono proprio sicuro di quello che ho fatto in un esercizio di calcolo riguardante il metodo di punto fisso.
Vi scrivo il testo dell'esercizio e come l'ho risolto:
La prima cosa che ho pensato qui è che, sapendo di dover calcolare la radice reale dell'equazione citata ( quindi \(\displaystyle x = -2 \)), posso usare il teorema di convergenza locale considerando un intorno di tale radice, per esempio \(\displaystyle I = [-2.5 ; -1.5] \).
Ora, i due metodi devono soddisfare le condizioni del teorema citato, quindi:
i) \(\displaystyle g(x) \) continua e derivabile in \(\displaystyle I \) - SI;
derivata prima \(\displaystyle g'(x) < 1\ per\ ogni\ x \subset I\) - NO
Quindi il primo metodo NON converge.
ii) \(\displaystyle g(x) \) continua e derivabile - SI;
derivata prima \(\displaystyle g'(x) < 1\ per\ ogni\ x \subset I\) - SI (qui in realtà ho qualche problema a verificare la condizione perchè la derivata risulta essere un pò complicata)
Quindi il metodo converge.
In realtà ho provato anche ad usare il metodo di convegenza globale e anch'esso mi da lo stesso risultato anche se trovo sempre difficile lavorare con la derivata prima del secondo metodo che è un pò complicata.
Detto ciò il secondo e ultimo punto dell'esercizio richiedeva di scrivere l'ordine di convergenza del metodo scelto.
La mia risposta è che il metodo ii) ha ordine \(\displaystyle p=1 \) perchè \(\displaystyle g(-2) = -2 \) e \(\displaystyle g'(-2) \not= 0 \).
Sapete suggerirmi qualcosa? E' tutto sbagliato o c'è un modo più facile per risolverlo?
Grazie mille a tutti
Da poco ho fatto l'esame di analisi 2 e calcolo numerico e ora sto cercando di correggere il compito in vista dell'orale.
In particolare non sono proprio sicuro di quello che ho fatto in un esercizio di calcolo riguardante il metodo di punto fisso.
Vi scrivo il testo dell'esercizio e come l'ho risolto:
Quale dei due seguenti metodi di punto fisso
i) \(\displaystyle x_{n+1} = -\frac{1}{3}(x_n^3 + 2x_n^2 +6)\)
ii)\(\displaystyle x_{n+1} = \frac{2x_n^3 + 2x_n^2 - 6}{3x_n^2 + 4x_n + 3}\)
produce una successione convergente per il calcolo della radice reale dell'equazione \(\displaystyle (x + 2)(x^2 + 3) = 0 \)? Giustificare la risposta per entrambi i metodi
La prima cosa che ho pensato qui è che, sapendo di dover calcolare la radice reale dell'equazione citata ( quindi \(\displaystyle x = -2 \)), posso usare il teorema di convergenza locale considerando un intorno di tale radice, per esempio \(\displaystyle I = [-2.5 ; -1.5] \).
Ora, i due metodi devono soddisfare le condizioni del teorema citato, quindi:
i) \(\displaystyle g(x) \) continua e derivabile in \(\displaystyle I \) - SI;
derivata prima \(\displaystyle g'(x) < 1\ per\ ogni\ x \subset I\) - NO
Quindi il primo metodo NON converge.
ii) \(\displaystyle g(x) \) continua e derivabile - SI;
derivata prima \(\displaystyle g'(x) < 1\ per\ ogni\ x \subset I\) - SI (qui in realtà ho qualche problema a verificare la condizione perchè la derivata risulta essere un pò complicata)
Quindi il metodo converge.
In realtà ho provato anche ad usare il metodo di convegenza globale e anch'esso mi da lo stesso risultato anche se trovo sempre difficile lavorare con la derivata prima del secondo metodo che è un pò complicata.
Detto ciò il secondo e ultimo punto dell'esercizio richiedeva di scrivere l'ordine di convergenza del metodo scelto.
La mia risposta è che il metodo ii) ha ordine \(\displaystyle p=1 \) perchè \(\displaystyle g(-2) = -2 \) e \(\displaystyle g'(-2) \not= 0 \).
Sapete suggerirmi qualcosa? E' tutto sbagliato o c'è un modo più facile per risolverlo?
Grazie mille a tutti
Risposte
Allora secondo me é corretto il tuo procedimento, e per la prima funzione di punto fisso effettivamente si ha che la derivata prima risulta <1 solo per x<-1.87; per la seconda funz. di punto fisso dici che hai difficoltà a calcolare la derivata, ma basta che applichi la regola del quoziente (la trovi facilmente anche su wikipedia), la quale appunto risulta essere <1 per x<0.56, quindi è come hai detto tu.
Secondo me invece hai sbagliato a calcolare l'ordine, infatti la derivata prima (che probabilmente quindi hai sbagliato a calcolare) si annulla per x=-2, mentre solo la derivata seconda (che puoi ottenere sempre con lo stessa regola del quoziente) risulta essere g''(-2)=-8/7 diverso cioè da 0, concludendo che ha ordine =2.
Secondo me invece hai sbagliato a calcolare l'ordine, infatti la derivata prima (che probabilmente quindi hai sbagliato a calcolare) si annulla per x=-2, mentre solo la derivata seconda (che puoi ottenere sempre con lo stessa regola del quoziente) risulta essere g''(-2)=-8/7 diverso cioè da 0, concludendo che ha ordine =2.
Grazie mille per la risposta, ho corretto alcune cose che effettivamente non tornavano e ho notato di aver sbagliato un calcolo nella derivata del secondo metodo.
In realtà però non riesco ancora a calcolarmi "a mano" dove la derivata prima del secondo metodo risulta essere minore di uno perchè ottengo una disequazione di quarto grado:
\(\displaystyle |g'(x)|= |\frac{6x^4 + 16x^3 + 26x^2 + 48x + 24}{(3x^2 + 4x + 3)^2}| < 1 \)
Devo utilizzare ruffini per scomporre il polinomio?
Ti faccio questa domanda perchè al compito non avevamo molto tempo quindi magari c'è un metodo più rapido che io non conosco.
Grazie ancora
In realtà però non riesco ancora a calcolarmi "a mano" dove la derivata prima del secondo metodo risulta essere minore di uno perchè ottengo una disequazione di quarto grado:
\(\displaystyle |g'(x)|= |\frac{6x^4 + 16x^3 + 26x^2 + 48x + 24}{(3x^2 + 4x + 3)^2}| < 1 \)
Devo utilizzare ruffini per scomporre il polinomio?
Ti faccio questa domanda perchè al compito non avevamo molto tempo quindi magari c'è un metodo più rapido che io non conosco.
Grazie ancora
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