Convergenza metodo di Newton
Buon pomeriggio a tutti!
Sto considerando l'equazione non lineare logx + sinx = 0 che ammette un'unica radice x* in (0 1). Devo stabilire se il metodo di Newton converge e devo indicare uno o più punti iniziali che garantiscono la convergenza e l'ordine di convergenza.
Per applicare il metodo di Newton devo considerare una radice n compresa in (0 1). Fisso $ del in ( n 1) $. L'intervallo [0 $ del $] deve soddisfare le seguenti caratteristiche:
- f(0) x f($ del $) <0
- segno di f'(x) costante per ogni x in (0 $ del $)
- segno di f''(x) constante per ogni x in (0 $ del $)
Preso un punto iniziale x0 in questo intervallo tale da soddisfare f(x0) x f''(x0) > 0 esso è un estremo di Fourier e il metodo di Newton converge.
Qualcuno potrebbe dirmi come si traduce l'enunciato del metodo nell'equazione che sto considerando?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Sto considerando l'equazione non lineare logx + sinx = 0 che ammette un'unica radice x* in (0 1). Devo stabilire se il metodo di Newton converge e devo indicare uno o più punti iniziali che garantiscono la convergenza e l'ordine di convergenza.
Per applicare il metodo di Newton devo considerare una radice n compresa in (0 1). Fisso $ del in ( n 1) $. L'intervallo [0 $ del $] deve soddisfare le seguenti caratteristiche:
- f(0) x f($ del $) <0
- segno di f'(x) costante per ogni x in (0 $ del $)
- segno di f''(x) constante per ogni x in (0 $ del $)
Preso un punto iniziale x0 in questo intervallo tale da soddisfare f(x0) x f''(x0) > 0 esso è un estremo di Fourier e il metodo di Newton converge.
Qualcuno potrebbe dirmi come si traduce l'enunciato del metodo nell'equazione che sto considerando?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
La condizione sulla derivata seconda, quindi
per l'assunzione dell'estremo di Fourier, è SUFFICIENTE; non necessaria!
Necessaria è l'esistenza della derivata prima, ed il suo non annullarsi (costanza del segno).
bene!
nel tuo caso -qual è $f'(x)$?
E com è $f''(x)$?
Inoltre: più restringi l'intervallo in cui la radice è compresa, meglio è.
Perciò -già sai che $0<\del<1$.
Può aiutarti considerare $f(x)=0$ come $g(x)=h(x)$ e graficare -qualitativamente,
$g$ ed $h$, considerando poi un intervallo che contenga l'ascissa della loro intersezione.
Poi, puoi procedere computando i valori di $f$ agli estremi che in prima approssimazione avevi considerato -li
controlli così, e vedi se puoi ulteriormane restringere -stando però
attenti a che l'approssimazione dei calcoli non ci inganni.
nel tuo caso, comunque, puoi prendere un estremo di Fourier...
per l'assunzione dell'estremo di Fourier, è SUFFICIENTE; non necessaria!
Necessaria è l'esistenza della derivata prima, ed il suo non annullarsi (costanza del segno).
bene!
nel tuo caso -qual è $f'(x)$?
E com è $f''(x)$?
Inoltre: più restringi l'intervallo in cui la radice è compresa, meglio è.
Perciò -già sai che $0<\del<1$.
Può aiutarti considerare $f(x)=0$ come $g(x)=h(x)$ e graficare -qualitativamente,
$g$ ed $h$, considerando poi un intervallo che contenga l'ascissa della loro intersezione.
Poi, puoi procedere computando i valori di $f$ agli estremi che in prima approssimazione avevi considerato -li
controlli così, e vedi se puoi ulteriormane restringere -stando però
attenti a che l'approssimazione dei calcoli non ci inganni.
nel tuo caso, comunque, puoi prendere un estremo di Fourier...
Ti ringrazio! Posso considerare la funzione di iterazione:
$ g(x) = x - f(x) // f'(x) $
dove f'(x) = 1 / x + cosx
f''(x) = -x^-2 -sinx
e calcolare il valore di g(x) nei punti x0 = 1 e x0 = 0? Sostituendo 0 e 1 nella funzione g(x) posso dire che se il risultato non appartiene a (0 1) allora la funzione non converge?
Grazie!
$ g(x) = x - f(x) // f'(x) $
dove f'(x) = 1 / x + cosx
f''(x) = -x^-2 -sinx
e calcolare il valore di g(x) nei punti x0 = 1 e x0 = 0? Sostituendo 0 e 1 nella funzione g(x) posso dire che se il risultato non appartiene a (0 1) allora la funzione non converge?
Grazie!
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