Convergenza globale e locale metodo di newton
Ciao a tutti!
Come da titolo sto cercando le dimostrazioni (o comunque delle piccole spiegazioni su come arrivarci) dei due teoremi di convergenza locale e globale del metodo di newton di cui vi riporto gli enunciati:
- Teorema di convergenza globale: << Sia $ fin C^2[a,b] $ con:
1) $ f(a)\cdot f(b)<0 $
2) $ f'(x)!= 0 AA x in [a,b]$
3) $ f''(x)<= 0 vv f''(x)>= 0 AA x in [a,b] $
4) $ abs((f(a))/(f'(a)))
- Teorema di convergenza locale: << Sia $ fin C^3[a,b] $ e risulti $ a < xi < b $, $ f(xi)=0 $, $ f'(xi) != 0 $ allora:
$ EE delta >0 |AAx in [xi-delta,xi+delta] lim_(krarroo ){x_k}=xi $
cioè esiste almeno un intorno della radice $ xi $ in cui per ogni punto iniziale $x_0$ dentro quell'intervallo il metodo di Newton converge>>
Ripeto.. mi basterebbe anche solo qualche spunto su come arrivarci
Ringrazio tutti in anticipo 
!
Come da titolo sto cercando le dimostrazioni (o comunque delle piccole spiegazioni su come arrivarci) dei due teoremi di convergenza locale e globale del metodo di newton di cui vi riporto gli enunciati:
- Teorema di convergenza globale: << Sia $ fin C^2[a,b] $ con:
1) $ f(a)\cdot f(b)<0 $
2) $ f'(x)!= 0 AA x in [a,b]$
3) $ f''(x)<= 0 vv f''(x)>= 0 AA x in [a,b] $
4) $ abs((f(a))/(f'(a)))
- Teorema di convergenza locale: << Sia $ fin C^3[a,b] $ e risulti $ a < xi < b $, $ f(xi)=0 $, $ f'(xi) != 0 $ allora:
$ EE delta >0 |AAx in [xi-delta,xi+delta] lim_(krarroo ){x_k}=xi $
cioè esiste almeno un intorno della radice $ xi $ in cui per ogni punto iniziale $x_0$ dentro quell'intervallo il metodo di Newton converge>>
Ripeto.. mi basterebbe anche solo qualche spunto su come arrivarci
Ringrazio tutti in anticipo !
Risposte
Ciao, cambia il titolo riscrivendolo in minuscolo: il maiuscolo è interpretato come urlato.
"Raptorista":
Ciao, cambia il titolo riscrivendolo in minuscolo: il maiuscolo è interpretato come urlato.
Fatto
Grazie!
Riguardo il tuo problema, non ho letto bene le ipotesi però io a istinto proverei a far vedere che la successione delle soluzioni approssimate \(x_k\) è monotona, visto che già sai che è limitata.
Riguardo il tuo problema, non ho letto bene le ipotesi però io a istinto proverei a far vedere che la successione delle soluzioni approssimate \(x_k\) è monotona, visto che già sai che è limitata.
Riesumo questo mio post di parecchio tempo fa 
memore della difficoltà che ho incontrato nelle due dimostrazioni a suo tempo (in rete è veramente difficile trovare qualcosa) allego, per i posteri, i due teoremi di convergenza globale e locale del metodo di Newton che ho personalmente trascritto cercando di renderle il più intuitive possibili Aggiungo inoltre che non è la sola strada per dimostrare tale metodo, si ricordi infatti che il metodo di Newton può essere visto come un'iterazione di punto fisso basta quindi applicare i teoremi di convergenza di quel metodo.
memore della difficoltà che ho incontrato nelle due dimostrazioni a suo tempo (in rete è veramente difficile trovare qualcosa) allego, per i posteri, i due teoremi di convergenza globale e locale del metodo di Newton che ho personalmente trascritto cercando di renderle il più intuitive possibili Aggiungo inoltre che non è la sola strada per dimostrare tale metodo, si ricordi infatti che il metodo di Newton può essere visto come un'iterazione di punto fisso basta quindi applicare i teoremi di convergenza di quel metodo.
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