Convergenza Gauss-Saidel
Ho un dubbio su una parte di un esercizio vorrei una vostra conferma o smentita:
Sia $B=((0,0,0,\beta),(0,0,\beta^2,0),(...,...,...,...),(\beta^n,0,...,0))$ sostanzialmente è una matrice che ha le potenze di $\beta$ sull'antidiagonale.
La proff malefica chiede di dire per queli valori di $\beta$ il metodo applicato al sistema $Bx=b$ converge.
Osservandola a prima vista non mi viene in mente nulla dato che:
$B$ NON è DIAGONALE DOMINANTE IN SENSO STRETTO
$B$ NON è DIAGONALE DOMINANTE E IRRIDUCIBILE
$B$ NON è NE SIMMETRICA E QUINDI IL TEOREMA SE LA MATRICE E SIMMETRICA E DEFINITA POSITIVA ALLORA GS CONVERGE...
PERO' fare i calcoli calocolarsi la matrice di iterazione $GS=(D-B)^-1 C$ è troppo lungo e credo sia la strada sbagliata.
Riguardando la matrice faccio il secondo ragionamento:
$B=((0,0,0,\beta),(0,0,\beta^2,0),(...,...,...,...),(\beta^n,0,...,0))$
allora
$B^T=((\beta,0,...,0),(...,...,...,...),(0,0,\beta^(n-1),0),(0,0,0,\beta^n))$
a questo punto dico che è diagonale dominante in senso stretto quindi GS converge per $B^T$ ma se converge per $B^T$ significa che ha autovalori minori strettamente di 1. A questo punto mi ricordo che gli autovalori della trasposta sono uguali a quelli della matrice di partenza.
Segue che anche gli autovalori di GS per B saranno minori di 1 segue GS converge sempre... per $\beta>0$
Io credo che vada bene, voi che dite?
Sia $B=((0,0,0,\beta),(0,0,\beta^2,0),(...,...,...,...),(\beta^n,0,...,0))$ sostanzialmente è una matrice che ha le potenze di $\beta$ sull'antidiagonale.
La proff malefica chiede di dire per queli valori di $\beta$ il metodo applicato al sistema $Bx=b$ converge.
Osservandola a prima vista non mi viene in mente nulla dato che:
$B$ NON è DIAGONALE DOMINANTE IN SENSO STRETTO
$B$ NON è DIAGONALE DOMINANTE E IRRIDUCIBILE
$B$ NON è NE SIMMETRICA E QUINDI IL TEOREMA SE LA MATRICE E SIMMETRICA E DEFINITA POSITIVA ALLORA GS CONVERGE...
PERO' fare i calcoli calocolarsi la matrice di iterazione $GS=(D-B)^-1 C$ è troppo lungo e credo sia la strada sbagliata.
Riguardando la matrice faccio il secondo ragionamento:
$B=((0,0,0,\beta),(0,0,\beta^2,0),(...,...,...,...),(\beta^n,0,...,0))$
allora
$B^T=((\beta,0,...,0),(...,...,...,...),(0,0,\beta^(n-1),0),(0,0,0,\beta^n))$
a questo punto dico che è diagonale dominante in senso stretto quindi GS converge per $B^T$ ma se converge per $B^T$ significa che ha autovalori minori strettamente di 1. A questo punto mi ricordo che gli autovalori della trasposta sono uguali a quelli della matrice di partenza.
Segue che anche gli autovalori di GS per B saranno minori di 1 segue GS converge sempre... per $\beta>0$
Io credo che vada bene, voi che dite?
Risposte
no! è
la matrice di iterazione $C_(GS)=-(D+L)^-1U$ che dev'essere una contrazione, non $B$ o $B^T$.
In generale: nulla ti impedisce di cambiare posto alle colonne/righe della matrice
dei coefficienti, purchè
tu faccia lo stesso cambiando, rispettivamente (N.B.!) le righe del vettore incognite/le righe del vettore termini noti.
per il metodo di Gauss-Siedel, posso
farlo solo in modo che $(D+L)$ non sia singolare, e che $U$ non sia nulla.
Posso farlo con quella matrice? altrimenti il metodo semplicemente non è applicabile.
la matrice di iterazione $C_(GS)=-(D+L)^-1U$ che dev'essere una contrazione, non $B$ o $B^T$.
In generale: nulla ti impedisce di cambiare posto alle colonne/righe della matrice
dei coefficienti, purchè
tu faccia lo stesso cambiando, rispettivamente (N.B.!) le righe del vettore incognite/le righe del vettore termini noti.
per il metodo di Gauss-Siedel, posso
farlo solo in modo che $(D+L)$ non sia singolare, e che $U$ non sia nulla.
Posso farlo con quella matrice? altrimenti il metodo semplicemente non è applicabile.
Ma in questo caso $D+L$ io dico $D-B$ è non singolare per qualunque $\beta$ diverso da zero, questo basta?
Illuminami che sono in crisi...
Illuminami che sono in crisi...
No! $D$ è la diagonale, $L$ ("lower") è
la "parte di sotto" -non
hai varie colonne di zeri?
Non ci ho controllato ora, se, appunto, scambiando righe e/o colonne
di $B$ si ottenga una matrice in cui $(D+L)$ è non singolare, ed $U$ ("upper", appunto) non nulla.
la "parte di sotto" -non
hai varie colonne di zeri?
Non ci ho controllato ora, se, appunto, scambiando righe e/o colonne
di $B$ si ottenga una matrice in cui $(D+L)$ è non singolare, ed $U$ ("upper", appunto) non nulla.
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