Classificazione punti critici vincolati sistema LKT
Ciao a tutti.
Uno degli esercizi d'esame del corso di Ricerca Operativa richiede di trovare e classificare tutti i punti critici di una funzione, con uno o più vincoli (disequazioni).
Io ne ho risolto uno, ma non riesco a capire come classificare i punti col metodo che il mio professore vuole che noi usiamo.
Questo è l'esercizio svolto:
Trovare massimi e minimi della funzione: $f(x_1, x_2) = x_1^2+4(x_2-2)^2$ sull'insieme: ${x in RR^2 : x_1^2-x_2 <= 0}.$
Ecco come l'ho svolto:
ho scritto la funzione Lagrangiana $L = x_1^2+4(x_2-2)^2+\lambda( x_1^2-x_2);$
ho scritto il sistema delle derivate della lagrangiana rispetto ad $x_1$, $x_2$, $\lambda$: $\{(2x_1+2\lambdax_1=0),(8x_2-16-\lambda=0),( x_1^2-x_2=0):}$
e mi risultano 4 punti stazionari (li scrivo nella forma $(x_1, x_2, \lambda)$): $P_1 = (0, 0, -16)$ $P_2 = (0, 2, 0)$ $P_3 = (sqrt(15/8), 15/8, -1)$ $P_4 = (-sqrt(15/8), 15/8, -1)$
A questo punto, dato che la funzione è coerciva, so che esiste un minimo globale, e sostituendo i punti nella funzione scopro che è $P_2$.
Per classificare i punti e scoprire se essi sono max (locale), min (locale) o selle, faccio la ricerca locale, sapendo che se $\lambda < 0$ è max/sella, se $\lambda > 0$ è min/sella.
Quindi ad esempio prendo il punto $P_1$, e mi sposto nella direzione $d(0, 1)$:
$f(x+td)$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $t(0,1)]$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $(0,t)]$ $= f(0,t) = 4t^2-16t+16;$
Poi faccio la stessa cosa per la direzione $d(1,0)$:
$f(x+td)$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $t(1,0)]$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $(t,0)]$ $= f(t,0) = t^2+16;$
A questo punto da queste 2 funzioni in t dovrei dedurne che il punto $P_1$ è un max locale per la $f$ iniziale (questo lo leggo dalle soluzioni)...ma come??? Me lo spiegate un pò che deduzioni devo fare su queste benedette funzioni in t??
Uno degli esercizi d'esame del corso di Ricerca Operativa richiede di trovare e classificare tutti i punti critici di una funzione, con uno o più vincoli (disequazioni).
Io ne ho risolto uno, ma non riesco a capire come classificare i punti col metodo che il mio professore vuole che noi usiamo.
Questo è l'esercizio svolto:
Trovare massimi e minimi della funzione: $f(x_1, x_2) = x_1^2+4(x_2-2)^2$ sull'insieme: ${x in RR^2 : x_1^2-x_2 <= 0}.$
Ecco come l'ho svolto:
ho scritto la funzione Lagrangiana $L = x_1^2+4(x_2-2)^2+\lambda( x_1^2-x_2);$
ho scritto il sistema delle derivate della lagrangiana rispetto ad $x_1$, $x_2$, $\lambda$: $\{(2x_1+2\lambdax_1=0),(8x_2-16-\lambda=0),( x_1^2-x_2=0):}$
e mi risultano 4 punti stazionari (li scrivo nella forma $(x_1, x_2, \lambda)$): $P_1 = (0, 0, -16)$ $P_2 = (0, 2, 0)$ $P_3 = (sqrt(15/8), 15/8, -1)$ $P_4 = (-sqrt(15/8), 15/8, -1)$
A questo punto, dato che la funzione è coerciva, so che esiste un minimo globale, e sostituendo i punti nella funzione scopro che è $P_2$.
Per classificare i punti e scoprire se essi sono max (locale), min (locale) o selle, faccio la ricerca locale, sapendo che se $\lambda < 0$ è max/sella, se $\lambda > 0$ è min/sella.
Quindi ad esempio prendo il punto $P_1$, e mi sposto nella direzione $d(0, 1)$:
$f(x+td)$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $t(0,1)]$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $(0,t)]$ $= f(0,t) = 4t^2-16t+16;$
Poi faccio la stessa cosa per la direzione $d(1,0)$:
$f(x+td)$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $t(1,0)]$ $=$ $f[(0,0)$ $+$ $(t,0)]$ $= f(t,0) = t^2+16;$
A questo punto da queste 2 funzioni in t dovrei dedurne che il punto $P_1$ è un max locale per la $f$ iniziale (questo lo leggo dalle soluzioni)...ma come??? Me lo spiegate un pò che deduzioni devo fare su queste benedette funzioni in t??
Risposte
nessuno ha idea di come si possa arrivare alla conclusione?
O utilizzate altri metodi??
O utilizzate altri metodi??
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