Carattere di dirichlet

[leev]

Sia $\chi_{D}$ un carattere di Dirichlet, con $D\equiv0 (mod 4)$,
sapreste come verificare che $\chi_{D}(k+D/2) =-\chi_{D}(k)$

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Si forse meglio aggiungere qualche ipotesi, cioè che $\chi_{D}$ è un carattere in partiocolare:



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[leev]

Ok, ora qualcuno sa darmi una mano?

[TomSawyer1]

Per $k$ pari, si ha che entrambi i membri dell'equazione sono 0, per la moltiplicativita' di $\chi$.

Per $k$ dispari, devi provare che $(D/k)= -(D/(k+D/2))$ (simbolo di Jacobi). Per fare cio' puoi usare il criterio che $(a/p)=a^{(p-1)/2) (modp)$.

[leev]

Ma si puo generalizzare a dei numeri qualsiasi il criterio?! Non credo perché non mi sembra quadrare se no quello che vorrei provare...

[TomSawyer1]

Però mi sa che c'è un errore. Sei sicuro della definizione di $D$? Perché, con $D=32$ e $k=3$, non vale più, perché hai che $(32/3)=(2/3)=-1$, dato che $2$ non è un residuo quadratico modulo $3$, e $(32/19)=(13/19)=-1$, cioè $13$ non è un residuo quadratico modulo $19$.

[leev]

Ok, allora l'ultima ipotesi (oltre alle altre) che posso pensare debba servire è:
$D/4$ senza componenti quadrate e $D/4 \equiv 2$ o $3$ $(mod 4)$
Se non funziona così mi tocca pensare che l'autore si sbaglia..

[TomSawyer1]

Certo che servono, perché escludono parecchi casi.

[leev]

Ok, domanda di riserva:
sia $\chi$ un carattere di Dirichlet (mod N), e sia $N_1$ un divisore di N.
Se il carattere è primitivo, allora:
esiste un $c$, $(c,N)=1$, $c \equiv 1$ (mod $N_1$) con $\chi(c) \ne 1$.
La spiegazione dell'autore è
supponendo che per tutti i tali $c$ si ha $\chi(c)=1$, allora vorrebbe dire che il nucleo della riduzione $ZZ//NZZ -> ZZ//N_1ZZ$ ha come immagine 1, il che è una contraddizione al fatto che $\chi$ è primitiva. Sapreste chiarirmi quest'ultima cosa??