Calcolo raggio spettrale matrice iterazione
Ciao
devo calcolare il raggio spettrale della matrice \(\displaystyle A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) di Jacobi e Gauss Seidel
Volevo chiedervi se il procedimento e le relazioni sono corrette
1 - calcolo inizialmente la matrice di iterazione per entrambi i metodi
posto che
\(\displaystyle A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} := D - E - F\\ \)
2 - ottengo le matrici di iterazione applicando le seguenti relazioni
\(\displaystyle B_J := - D^{-1}\cdot\left(E+F\right) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\\ \)
\(\displaystyle B_{GS} :=- \left(D-E\right)^{-1}\cdot F = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \)
3 - calcolo i raggi spettrali per entrambe.
raggio spettrale della matrice di terazione di Jacobi
\(\displaystyle \rho\left(B_J\right) := \frac{1}{2} < 1 \\ \)
raggio spettrale della matrice di terazione di Gauss Seidel
\(\displaystyle \rho\left(B_{GS}\right) := \frac{1}{2} < 1 \\ \)
p.s. se nell'esercizio fossero stati indicati anche i termini noti b, come integravo b nelle due relazioni?
Grazie
devo calcolare il raggio spettrale della matrice \(\displaystyle A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) di Jacobi e Gauss Seidel
Volevo chiedervi se il procedimento e le relazioni sono corrette
1 - calcolo inizialmente la matrice di iterazione per entrambi i metodi
posto che
\(\displaystyle A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} := D - E - F\\ \)
2 - ottengo le matrici di iterazione applicando le seguenti relazioni
\(\displaystyle B_J := - D^{-1}\cdot\left(E+F\right) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\\ \)
\(\displaystyle B_{GS} :=- \left(D-E\right)^{-1}\cdot F = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \)
3 - calcolo i raggi spettrali per entrambe.
raggio spettrale della matrice di terazione di Jacobi
\(\displaystyle \rho\left(B_J\right) := \frac{1}{2} < 1 \\ \)
raggio spettrale della matrice di terazione di Gauss Seidel
\(\displaystyle \rho\left(B_{GS}\right) := \frac{1}{2} < 1 \\ \)
p.s. se nell'esercizio fossero stati indicati anche i termini noti b, come integravo b nelle due relazioni?
Grazie
Risposte
Il secondo raggio spettrale non mi quadra... Come l'hai calcolato?
In che senso? La matrice di iterazione non c'entra niente con il termine noto...
"MrFrost":
p.s. se nell'esercizio fossero stati indicati anche i termini noti b, come integravo b nelle due relazioni?
In che senso? La matrice di iterazione non c'entra niente con il termine noto...
Ciao!
ho commesso qualche errore nella 2° matrice?
ho commesso qualche errore nella 2° matrice?
No, intendo nel calcolo del raggio spettrale della seconda. Non viene $1/2$
Viene 1!
quindi raggio spettrale <= 1
quindi raggio spettrale <= 1
"MrFrost":
Viene 1!
Sì
"MrFrost":
quindi raggio spettrale <= 1
E che vor dì?
Cioè, hai \(\rho(B_{GS}) = 1\) che, ovviamente, non è minore di uno e qundi...
Continua tu!
Vor dì che er metodo iterativo nun converge? 
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