Calcolo matriciale in equazioni normali
Sto studiando il metodo dei minimi quadrati e mi sono trovato di fronte ad una serie di passaggi che portano alla formula per le equazioni normali. Ossia:
$ \norm (A\alpha -y) _2^2 = (A\alpha-y)^T(A\alpha-y) = (\alpha^t A^t-y^T)(A\alpha-y) $
con $ A $ matrice $ m \times n $ e $ \alpha, y $ vettori di $ m $ elementi.
Fin qui ho capito tutto, l'ultimo passaggio porta a questa somma:
$ y^T y- 2\alpha^TA^Ty+\alpha^T A^T A \alpha$
se faccio a mano il prodotto, il termine $ - 2\alpha^TA^Ty $ non mi risulta, probabilmente mi sono dimentica una regola del calcolo matriciale. Forse sbagliando io ho semplicemente moltiplicato i quattro elementi mantenendo l'ordine ottenendo:
$ \alpha^t A^t A\alpha- \alpha^t A^ty-y^TA\alpha+y^Ty $
il primo e l'ultimo termine sono corretti, ma i due termini centrali non sono uguali e quindi non ritengo si possano sommare formando il $ 2\alpha^TA^Ty $.
Per questo motivo, ritengo che il mio passaggio sia sbagliato. Qualcuno sa mostrarmi il metodo corretto di fare quel prodotto?
$ \norm (A\alpha -y) _2^2 = (A\alpha-y)^T(A\alpha-y) = (\alpha^t A^t-y^T)(A\alpha-y) $
con $ A $ matrice $ m \times n $ e $ \alpha, y $ vettori di $ m $ elementi.
Fin qui ho capito tutto, l'ultimo passaggio porta a questa somma:
$ y^T y- 2\alpha^TA^Ty+\alpha^T A^T A \alpha$
se faccio a mano il prodotto, il termine $ - 2\alpha^TA^Ty $ non mi risulta, probabilmente mi sono dimentica una regola del calcolo matriciale. Forse sbagliando io ho semplicemente moltiplicato i quattro elementi mantenendo l'ordine ottenendo:
$ \alpha^t A^t A\alpha- \alpha^t A^ty-y^TA\alpha+y^Ty $
il primo e l'ultimo termine sono corretti, ma i due termini centrali non sono uguali e quindi non ritengo si possano sommare formando il $ 2\alpha^TA^Ty $.
Per questo motivo, ritengo che il mio passaggio sia sbagliato. Qualcuno sa mostrarmi il metodo corretto di fare quel prodotto?
Risposte
So che è fuori tempo massimo ma, siccome \(y^t A\alpha\) è un numero, è uguale al suo trasposto.
Grazie, ho già dato l'esame ed ho preso 30, ma mi è molto utile capire queste per il prossimo...
Mi spiace per il ritardo. Congratulazioni per il tuo successo 
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