Calcolo di una spline cubica naturale

[bugger]

Ciao a tutti, ho dei problemini con il calcolo di una spline cubica naturale.
Vi riporto il testo dell'esercizio

Calcolare la spline cubica naturale che interpola $f(x)=sin^2(x)$ nei nodi ${0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}}$

Io ho ragionato così:
Abbiamo i nodi
$$x_0=0,x_1=\frac{\pi}{4}, x_2=\frac{\pi}{2}$$
Dato che quella che devo trovare è una spline cubica naturale, si hanno le due condizioni aggiuntive
$$m_0=m_n=0$$
e, dalla relazione
$$m_i=S_3^{(2)}(x_i), i=0,1,\ldots ,n $$
si ha quindi che
$$m_0=S_3^{(2)}(x_0)=0$$
e allo stesso modo
$$m_2=S_3^{(2)}(x_2)=0$$.
Adesso dovrei trovare $m_1$ che sarà dato da $S_3^{(2)}(x_1)$.
Un'osservazione mi dice che se $S_3$ è una spline cubica, $S_3^{(1)}$ è una spline quadratica e quindi $S_3^{(2)}$ è una spline lineare.
La formula per ricavarmi la spline lineare è
$$ S_1|_{[x_{i-1},x_i]}(x)=\frac{(x-x_{i-1})f_i+(x_i-x)f_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}} $$
Dunque, riconducendomi al mio caso, si ha
$$ S_1|_{[x_{i-1},x_i]}(x)=\frac{(x-x_0)f_1+(x_1-x)f_0}{x_1-x_0}=\frac{(x-0)\frac{1}{2}+(\frac{\pi}{4}-x)0}{\pi/4}=\frac{2x}{\pi}$$
Infine
$$m_1=S_1(x_1)=S_1(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$$

Ho fatto giusto?? e, se si, come concludo?

Grazie mille a tutti

[bugger]

Nessuno sa aiutarmi?