Calcolare ordine di convergenza metodo punto fisso
Apro un'ulteriore discussione su questo tema perchè quelle già fatte su questo tema non hanno risposto ai miei dubbi. Non ho capito ancora come posso calcolare l'ordine di convergenza di un metodo di punto fisso. Ad esempio, ho questo esercizio dove la funzione di punto fisso é g(x)= 1,5 - ln(x), e mi dicono che x0=1. Dopo aver dimostrato che in un intervallo I=[1;1,5] esiste un'unica soluzione, mi chiede di fare 4 iterazioni, e fin qui nessun problema; mi chiede poi di calcolare l'ordine di convergenza: come fare?
Risposte
Per i metodi di punto fisso vale che:
se $g\inC^{p}([a,b])$, $\alpha \in [a,b]$ tale che $g(\alpha)=\alpha$ e $g'(\alpha)=g''(\alpha)=\ldots=g^{(p-1)}(\alpha)=0$ e $g^{(p)}(\alpha) \ne 0 $ allora il metodo ha ordine $p$.
se $g\inC^{p}([a,b])$, $\alpha \in [a,b]$ tale che $g(\alpha)=\alpha$ e $g'(\alpha)=g''(\alpha)=\ldots=g^{(p-1)}(\alpha)=0$ e $g^{(p)}(\alpha) \ne 0 $ allora il metodo ha ordine $p$.
Più chiaro di così non si poteva!!! 
Grazie mille!
Grazie mille!
Questo però non risponde alla domanda su "come verificare l'ordine", e l'ordine dev'essere verificato a mano, altrimenti non si ha la certezza che il metodo sia implementato correttamente!
Edit: qui c'era scritta una cosa sbagliata. La risposta giusta è poco più sotto
Edit: qui c'era scritta una cosa sbagliata. La risposta giusta è poco più sotto
Perfetto, grazie! però se ho un esercizio da fare munito di solo penna e calcolatrice, mi sembra di aver capito che purtroppo l'unico sistema è di usare il metodo indicatomi da Lory314.
Non sai calcolare un coefficiente angolare a mano??
Allora forse non ho capito bene. Cos'é C che metti? cioè potrei calcolarmi a mano $(ln(e_n) - ln(C))/(ln(1/n)) = \alpha$
Aspetta, cancella quello che ho scritto prima perché andando a memoria ho mischiato la definizione corretta con quella sbagliata
Un metodo per l'approssimazione della radice \(\alpha\) di un'equazione nonlineare si dice convergente di ordine \(p\) se
\[
|x_{k+1} - \alpha| \le C |x_k - \alpha|^p \qquad C > 0, \text{definitivamente in } k
\]
quindi il discorso che ho fatto prima è sempre valido, ma adesso hai
\[
\ln err_{k+1} \le \ln C + p \ln err_k.
\]
Non puoi ricavare \(p\) da questa formula perché non conosci \(C\), ma se conosci \(err_k, err_{k+1}, err_{k + 2}\) allora puoi scrivere l'ultima equazione per \(err_{k+2}\) e poi fare la differenza, così arrivi a
\[
\ln\frac{err_{k+2}}{err_{k+1}} = p \ln \frac{err_{k+1}}{err_k}.
\]
Questo ti permette di avere una stima manuale di \(p\). Ed è come calcolare un coefficiente angolare
Scusa per l'imprecisione di prima con la definizione sbagliata
Un metodo per l'approssimazione della radice \(\alpha\) di un'equazione nonlineare si dice convergente di ordine \(p\) se
\[
|x_{k+1} - \alpha| \le C |x_k - \alpha|^p \qquad C > 0, \text{definitivamente in } k
\]
quindi il discorso che ho fatto prima è sempre valido, ma adesso hai
\[
\ln err_{k+1} \le \ln C + p \ln err_k.
\]
Non puoi ricavare \(p\) da questa formula perché non conosci \(C\), ma se conosci \(err_k, err_{k+1}, err_{k + 2}\) allora puoi scrivere l'ultima equazione per \(err_{k+2}\) e poi fare la differenza, così arrivi a
\[
\ln\frac{err_{k+2}}{err_{k+1}} = p \ln \frac{err_{k+1}}{err_k}.
\]
Questo ti permette di avere una stima manuale di \(p\). Ed è come calcolare un coefficiente angolare
Scusa per l'imprecisione di prima con la definizione sbagliata
ok grazie!!! 
(e non ti preoccupare per la confusione, ti capisco benissimo! 
)
(e non ti preoccupare per la confusione, ti capisco benissimo! )
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