Base di uno spazio

[gamer07]

Ragazzi potreste farmi da super visore non avendo riscontro se penso e dico cose esatte o meno ?
Grazie.


http://oi39.tinypic.com/fnu3o.jpg

1) Si. La definizione di spazio generato dice :

Un insieme di vettori x1, x2, … , xk di dimensione n
genera l’insieme di vettori En, se ogni vettore in En può
essere rappresentato come combinazione lineare dei
vettori x1, x2, … , xk

l'unica cosa quì ad esempio io non saprei come rappresentare $ x1= \lambda2 *x2 + \lambda3 *x3 $..
e $x2= \lambda1 *x1 + \lambda3 *x3 $..
e $x3= \lambda1 *x1 + \lambda2 *x2 $.. E non mi sembra nemmeno così immediato.
Come si fà ?
Faccio un esempio :
$ x1= \lambda2 *x2 + \lambda3 *x3 $
$ \lambda2 [(-1),(3)] + \lambda3[(2),(1)] = [(1),(0)] $
$ -\lambda2+ 2\lambda3 = 1 rArr \lambda2 = 2\lambda3 -1 ;$
quindi

$3\lambda2 + \lambda3 = 0 rArr 3(2\lambda3 (-1))+\lambda3 = 0 rArr 6\lambda3 -3 + \lambda3 = 0$
quindi
$7\lambda3 = 3 rArr \lambda3 = 3/7$
allora
$\lambda1 = 2(3/7)+1 = 24/7 $

giusto ? quindi si può sempre scrivere come combinazione lineare solo che ci sono cifre frazionarie.



2) Alla domanda 2 la risposta è no. Perchè se elimino un qualsiasi vettore tra x1,x2,x3 riesco cmq a generare uno spazio E2.E anche per le proprietà della base di uno spazio n=k ( n = grandezza dei vettori e k dimensione dello spazio)..

3)Si perchè sono linearmente indipendenti. Infatti
$ \lambda1[(1),(0)]+ \lambda2[(-1),(3)] = [(0),(0)]$
abbiamo quindi
$\lambda1 - \lambda2 = 0 rArr \lambda1 = \lambda2$
$3\lambda2 = 0 rArr \lambda2 = 0$ quindi anche $\lambda1 = 0$
e quindi sono linearmente indipendenti e essendo n=k, x1 e x2 rappresentano la base dello spazio E2.


4) Si perchè come 3) sono linearmente indipendenti.
$\lambda2[(-1),(3)]+ \lambda3[(2),(1)]= [(0),(0)]$
$-\lambda2 +2\lambda3 =0 rArr \lambda2 = 2\lambda3$
$3\lambda2 + \lambda3 = 0 rArr 3(2\lambda3)+\lambda3 rArr 7\lambda3 = 0 rArr \lambda3 = 0 $
quindi anche $\lambda2 = 0$
n=k . Sono una base per E2.

5) No perchè è x4 = -1*x2.


Ragazzi se riuscite a correggermi qualsiasi errore di pensiero, calcolo, convinzione, etc.. mi fate un grandissimo piacere.
Grazie !!!

[Raptorista1]

La risposta alla 2 è "Sì", perché un insieme di generatori non è necessariamente una base.
Le altre mi sembrano ok.

[gamer07]

"Raptorista":La risposta alla 2 è "Sì", perché un insieme di generatori non è necessariamente una base.
Le altre mi sembrano ok.

MMM forse ti ha tratto in inganno la mia risposta.
La domanda è se x1,x2,x3 sono una base per E2. Sono uno spazio, ma non una base... Quindi la risposta è no .

O faccio confusione io ?
[size=85]
(clicca sul link se l'immagine non si vede completa)[/size]
http://oi41.tinypic.com/2mqsq4x.jpg



se dice k=n credo che se E2 mentre k = 3 non può essere una base di uno spazio generato. n diverso da k

[Raptorista1]

No, no, colpa mia che non sono capace di contare fino a 2
Avevo scambiato la 1 con la 2, e la 1 ancora con la 1 XD

[gamer07]

perfetto, allora tutto ok, grazie !