Autovalori e dischi di Gershgorin
Salve a tutti!
Ho un dubbio riguardo le informazioni che posso ricavare tramite i dischi di Gershgorin.
Sto facendo un esercizio in cui ho una matrice A reale 4x4 NON simmetrica.
Mi si richiede di dimostrare senza calcolare il determinante che A è invertibile e che i suoi autovalori sono reali e distinti.
Ora ho trovato 4 dischi disgiunti:
il I centrato -0.4 e di raggio 0.08, il II di centro 0.4 e raggio 0.1, il III centrato in 0.8 e raggio 0.12 e l'ultimo con centro in -0.8 e raggio 0.12.
Dalla posizione di questi cerchi ho capito che A è invertibile poiché 0 non è contenuto nello spettro di A e che gli autovalori sono tutti distinti perché i dischi sono disgiunti. Come faccio a dimostrare che gli autovalori sono reali? Anche perché secondo me non lo sono!
Grazie in anticipo!
Ho un dubbio riguardo le informazioni che posso ricavare tramite i dischi di Gershgorin.
Sto facendo un esercizio in cui ho una matrice A reale 4x4 NON simmetrica.
Mi si richiede di dimostrare senza calcolare il determinante che A è invertibile e che i suoi autovalori sono reali e distinti.
Ora ho trovato 4 dischi disgiunti:
il I centrato -0.4 e di raggio 0.08, il II di centro 0.4 e raggio 0.1, il III centrato in 0.8 e raggio 0.12 e l'ultimo con centro in -0.8 e raggio 0.12.
Dalla posizione di questi cerchi ho capito che A è invertibile poiché 0 non è contenuto nello spettro di A e che gli autovalori sono tutti distinti perché i dischi sono disgiunti. Come faccio a dimostrare che gli autovalori sono reali? Anche perché secondo me non lo sono!
Grazie in anticipo!
Risposte
Qual'è la matrice? Puoi usare LaTeX per inserirla.
$ ( ( -0.4 , 0.02 , 0.04 , -0.02 ),( 0.04 , 0.4 , 0.02 , -0.04 ),( -0.02 , 0.04 , 0.8 , 0.06 ),( 0.04 , 0.02 , 0.06 , -0.8 ) ) $
La matrice e' questa, spero di non aver sbagliato i conti nel calcolo dei raggi
La matrice e' questa, spero di non aver sbagliato i conti nel calcolo dei raggi
Posso dire qualcosa utilizzando come informazione il fatto che la matrice ha il polinomio caratteristico di IV grado a coefficienti reali? Cioè questo fatto mi garantisce che esiste almeno un autovalore reale?
Rettifico: Visto che per un polinomio di grado pari a coeff in R ha un numero di soluzioni reali che è pari e varia da 0 a n e in generale se ha una soluzione complessa deve avere come soluzione anche il coniugato, il fatto che abbia 4 cerchi distinti mi dimostra che sono tutte reali! Infatti poichè numeri complessi e coniugati hanno la stessa parte reale devono appartenere allo stesso cerchio o comunque all'intersezione di due cerchi. Che dite, il ragionamento fila?
Rettifico: Visto che per un polinomio di grado pari a coeff in R ha un numero di soluzioni reali che è pari e varia da 0 a n e in generale se ha una soluzione complessa deve avere come soluzione anche il coniugato, il fatto che abbia 4 cerchi distinti mi dimostra che sono tutte reali! Infatti poichè numeri complessi e coniugati hanno la stessa parte reale devono appartenere allo stesso cerchio o comunque all'intersezione di due cerchi. Che dite, il ragionamento fila?
L'idea per di,mostrare che gli autovalori sono tutti reali è sicuramente quella (non ho controllato i conti pero')
Attenzione che il teorema non Gershgorin non dice che ogni cerchio ha un autovalore.
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