Approssimazione derivata

[marco.ve1]

Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ in $C^3$ e $(a=x_0
Usando Taylor ottengo che $(-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2))/(2h) = f'(x_0) +h^2(f^{(3)}(\xi_1)-2f^{(3)}(\xi_2))/3$ per opportuni $\xi_1 \in (x_0,x_1)$ e $\xi_2 \in (x_1, x_2)$; da qui segue il risultato cercato secondo la soluzione del testo.
Come faccio a sapere che esiste $\xi \in (x_0, x_2)$ tale che $f^{(3)}(\xi_1)-2f^{(3)}(\xi_2) = -f^{(3)}(\xi)$?

[vict85]

Prova a ragionare sui dati che possiedi. Hai che la derivata terza è continua e che \(\displaystyle\frac{f^{(3)}(\xi_1)-2f^{(3)}(\xi_2)}{3}\) è compreso tra \(\displaystyle\min\bigl( f^{(3)}(\xi_1), f^{(3)}(\xi_2) \bigr)\) e \(\displaystyle\max\bigl( f^{(3)}(\xi_1), f^{(3)}(\xi_2) \bigr)\). Che teorema ti assicura l'esistenza di \(\xi\) ?

Non farti confondere dalla derivata terza, si tratta di uno dei primi teoremi che di fanno nel corso di analisi matematica 1.

[marco.ve1]

Immagino tu stia parlando al teorema dei valori intermedi, c'avevo pensato ma non vedo come usarlo.

La tua stima non mi torna, così com'è basta prendere $f^{(3)}=1$ per renderla falsa; altrimenti togliendo l'$1/3$ che deve comparire alla fine e invertendo il segno (che mi sembra l'unico modo per renderla utile) basta considerare $f^{(3)}(x)=x$ e si ha $f^{(3)}(\xi)=2f^{(3)}(\xi_2)-f^{(3)}(\xi_1)=2\xi_2-\xi_1>\xi_2 = max(f^{(3)}(\xi_1), f^{(3)}(\xi_2))$.

[vict85]

Scusa, hai ragione. Avevo letto male.