Applicazioni dell'analisi matematica
Salve, qualcuno saprebbe spiegarmi come effettuare un'interpolazione di tipo spline e come una di tipo lineare, visto che ho capito solo quella polinomiale.
Mi pare di capire che attraverso l'interpolazione, riesco a trasformare i dati da una mia tabella sotto forma di funzione matematica, e fin li ok, ma per cosa ? Cioè a cosa mi potrebbe servire la funzione matematica e in che occasioni vengono usate queste funzioni ?
Mi pare di aver capito che con le derivate ad esempio riesco a calcolare punti in cui la funzione è massima o minima, ma quello posso vederlo anche dalla mia tabella no ?
Qualcuno mi può spiegare bene le applicazioni e i vantaggi che può avere creare una funzione per le mie tabella di dati ?
Mi pare di capire che attraverso l'interpolazione, riesco a trasformare i dati da una mia tabella sotto forma di funzione matematica, e fin li ok, ma per cosa ? Cioè a cosa mi potrebbe servire la funzione matematica e in che occasioni vengono usate queste funzioni ?
Mi pare di aver capito che con le derivate ad esempio riesco a calcolare punti in cui la funzione è massima o minima, ma quello posso vederlo anche dalla mia tabella no ?
Qualcuno mi può spiegare bene le applicazioni e i vantaggi che può avere creare una funzione per le mie tabella di dati ?
Risposte
Non hai un libro di Calcolo Numerico?
Di solito queste cose sono spiegate decentemente sui libri...
P.S.: Da come parli dell'Analisi, mi auguro vivamente che tu non sia uno studente universitario d'ingegneria, matematica o fisica.
Di solito queste cose sono spiegate decentemente sui libri...
P.S.: Da come parli dell'Analisi, mi auguro vivamente che tu non sia uno studente universitario d'ingegneria, matematica o fisica.
Ciao Nebbia,
nel darti il benvenuto sul forum ti avviso che postare in più sezioni è vietato dal regolamento (sarebbe dispersivo, non trovi?)
Provvedo a spostare questo in analisi numerica, mentre il doppione in ingegneria è da eliminare, puoi pensarci tu utilizzando il tasto con la crocetta in alto a destra.
nel darti il benvenuto sul forum ti avviso che postare in più sezioni è vietato dal regolamento (sarebbe dispersivo, non trovi?)
Provvedo a spostare questo in analisi numerica, mentre il doppione in ingegneria è da eliminare, puoi pensarci tu utilizzando il tasto con la crocetta in alto a destra.
"gugo82":
Non hai un libro di Calcolo Numerico?
Di solito queste cose sono spiegate decentemente sui libri...
P.S.: Da come parli dell'Analisi, mi auguro vivamente che tu non sia uno studente universitario d'ingegneria, matematica o fisica.
No! Non ho un libro di calcolo numerico! Me ne potresti per piacere consigliare uno ?
P.S: Non hai ancora risposto alla mia domanda. Comunque ho conoscenze di calcolo integrale, (doppio, triplo ecc...) ok mi serve per calcolare aree, volumi ecc... ma a volte di tanti teoremi non ne capisco il lato pratico e se puoi per piacere potresti anche spiegarmi il vantaggio di avere le tabelle in funzione?? (riguardo il discorso di prima ? ti ringrazio in anticipo
"nebbia":
[quote="gugo82"]Non hai un libro di Calcolo Numerico?
Di solito queste cose sono spiegate decentemente sui libri...
No! Non ho un libro di calcolo numerico! Me ne potresti per piacere consigliare uno ?[/quote]
Mah... Per quanto non sia un esperto di Calcolo Numerico, direi che sul libro di Quarteroni - Sacco - Saleri, Numerical Mathematics, Springer (2000), c'è tutto quel che ti serve (in particolare, l'interpolazione polinomiale è nel cap. 8).
"nebbia":
[quote="gugo82"]P.S.: Da come parli dell'Analisi, mi auguro vivamente che tu non sia uno studente universitario d'ingegneria, matematica o fisica.
P.S: Non hai ancora risposto alla mia domanda. Comunque ho conoscenze di calcolo integrale, (doppio, triplo ecc...) ok mi serve per calcolare aree, volumi ecc... ma a volte di tanti teoremi non ne capisco il lato pratico e se puoi per piacere potresti anche spiegarmi il vantaggio di avere le tabelle in funzione?? (riguardo il discorso di prima ? ti ringrazio in anticipo[/quote]
No, grazie, passo la mano ad altri.
Sono stufo di spiegare queste cose a chi ha studiato Analisi meccanicamente, senza mai porsi problemi durante lo studio.
Buono studio.
[OT] Leggendo questo 3d (come ne ho letti molti altri, nei mesi passati) non ho potuto resistere dallo scrivere per porre una domanda a Gugo82: perdonami, ma qual è il senso di lanciarsi in una (sterile) micro-invettiva sulla qualità delle locuzioni adottate da Nebbia? Ha fatto una domanda: a che pro la tiritera del "ma come diavolo parli dell'Analisi Matematica"? A che pro suggerire di cercare la risposta in un libro?
Si suppone che, nel rivolgersi agli utenti di un Forum, una persona abbia già consultato almeno un libro di testo e che abbia incontrato delle difficoltà. E dovrebbe essere lecito, fino a prova contraria: altrimenti a cosa serve il Forum?
Personalmente, in quanto frequentatore passivo, ritengo che zero risposte effettive e tante filippiche inutili comportino una gran perdita di tempo (per tutti), e che compromettano (parecchio) la tanto acclamata Divulgazione Matematica. D'altra parte non sussiste l'obbligo di risposta, né in un senso, né nell'altro...o no?
Non prenderlo come uno sfogo, prendilo come una curiosità che vorrei soddisfare: 5 minuti li ho già buttati via per leggere un 3d che presupponevo, erroneamente, interessante. [/OT]
Si suppone che, nel rivolgersi agli utenti di un Forum, una persona abbia già consultato almeno un libro di testo e che abbia incontrato delle difficoltà. E dovrebbe essere lecito, fino a prova contraria: altrimenti a cosa serve il Forum?
Personalmente, in quanto frequentatore passivo, ritengo che zero risposte effettive e tante filippiche inutili comportino una gran perdita di tempo (per tutti), e che compromettano (parecchio) la tanto acclamata Divulgazione Matematica. D'altra parte non sussiste l'obbligo di risposta, né in un senso, né nell'altro...o no?
Non prenderlo come uno sfogo, prendilo come una curiosità che vorrei soddisfare: 5 minuti li ho già buttati via per leggere un 3d che presupponevo, erroneamente, interessante. [/OT]
Non so chi tu sia ma ti ringrazio del sostegno! Anche perché in università mi sono sempre stati dati tanti teoremi e consegne di esercizi ma nessuno mi ha mai spiegato a cosa servissero o come potessi utilizzare quelle conoscenze nella vita reale o nei miei progetti, non credo di essere una di quelle persone che studia analisi matematica meccanicamente senza mai porsi domande, anche perché se così fosse, non starei scrivendo in questo forum, anzi è appunto perché mi interessa capire che chiedo.
Mi scuso con gugo82 per essere molto ignorante e probabilmente come lui dice forse c'è troppa gente come me che non capisce le applicazioni e chiede senza leggere (anche se io di letture ne ho fatte) della matematica e per lui forse questo è offensivo, ma credo sia ancora più offensivo non capirne le applicazioni e non farsi domande... o sbaglio ?
Mi scuso con gugo82 per essere molto ignorante e probabilmente come lui dice forse c'è troppa gente come me che non capisce le applicazioni e chiede senza leggere (anche se io di letture ne ho fatte) della matematica e per lui forse questo è offensivo, ma credo sia ancora più offensivo non capirne le applicazioni e non farsi domande... o sbaglio ?
[OT, in risposta]
Scusa piiippuz, che lavoro fai?
Beh, in realtà non ha grande importanza: quindi mettiamo per esempio che tu faccia da anni progetti di sistemi informatici di comunicazione avanzatissimi.
Mettiamo che di punto in bianco, sempre più persone ti vengano a dire: "Ah, ho studiato quello che fai ed ho capito che allacci i PC ai modem".
[list=1]
[*:e33jsi1p] Ai primi dieci tenti di spiegare che la situazione non è proprio così, che attaccare i PC ai modem è una cosa particolarissima, alla quale non c'è da dare grossa importanza, e ti dilunghi pure sugli aspetti più avanzati del tuo lavoro per cercare di aumentare un po' le conoscenze dei tuoi interlocutori; facendo ciò levi molto tempo al tuo lavoro, ma tenti di stimolare delle persone e di portarle ad amare ciò che fai.
[/*:m:e33jsi1p]
[*:e33jsi1p] Poi, ai secondi dieci tenti di spiegare che non è proprio così, che attaccare i PC ai modem è una cosa particolarissima, alla quale non c'è da dare grossa importanza, ma capisci già che parlare delle cose avanzate non serve a molto; in questo modo, ti dedichi di più al tuo lavoro, anche se fai di meno per chi ti è di fronte.
[/*:m:e33jsi1p]
[*:e33jsi1p] Infine, ai terzi dieci, gli dici diretamente che non hanno capito un cavolo e che devono tornare a studiare; in tal modo lavori, e speri che chi hai di fronte non sia così supponente da ritenere comunque di aver capito tutto della vita.[/*:m:e33jsi1p][/list:o:e33jsi1p]
Ora, dato che le persone che possono capire o essere stimolate dagli aspetti avanzati del tuo lavoro sono più o meno proprio quelle non troppo supponenti da ritenere comunque di aver capito tutto della vita, è evidente che i modi 1 e 3 si equivalgono in quanto a target; il Principio di Minima Azione, infine, ti porta a scegliere 3 su 1.
Perchè è nei libri che si trovano questo genere di risposte.
Se così non fosse, nessuno li scriverebbe e, probabilmente, staremmo tutti a ciarlare su internet.
Beh, da quanto ha scritto l'utente, tutto sembra fuorché che abbia consultato qualche libro.
In altri termini, uno studente non può venire a scrivere "Mi pare di aver capito che con le derivate ad esempio riesco a calcolare punti in cui la funzione è massima o minima, ma quello posso vederlo anche dalla mia tabella no?"... E non può non perchè una domanda del genere è sintomo di ignoranza (che lo studio ed il domandare servono a colmare), ma perchè una domanda simile denota il fatto che il supposto studente finora ha fatto di tutto meno che studiare.
Io mi vergognerei di porre una domanda simile.
Ma probabilmente il pudore e la vergogna sono sentimenti appartenenti agli uomini nati in altre epoche.
[@nebbia: Io sono sicuro che quest'ultimo non è il tuo caso; però ti devi rendere conto che parlare in questo modo sciatto in pubblico ti espone a questi inconvenienti.
Perciò è necessario che tu curi di più il tuo modo di esprimerti.]
Inoltre, a cosa serve il forum lo trovi scritto nel regolamento e negli avvisi in testa ad ogni sezione, tipo questo.
In quanto frequentatore passivo, avrai sicuramente visto le mie risposte a centinaia di quesiti sul forum... Se non l'hai fatto, sei pregato di farlo prima di muovere critiche finalizzate a non so cosa.
Invece, io ho "buttato" più di mezz'ora a risponderti.
Mi auguro che questo post non rientri in quelli di categoria 2.
[/OT]
"piiippuz":
Leggendo questo 3d (come ne ho letti molti altri, nei mesi passati) non ho potuto resistere dallo scrivere per porre una domanda a Gugo82: perdonami, ma qual è il senso di lanciarsi in una (sterile) micro-invettiva sulla qualità delle locuzioni adottate da Nebbia? Ha fatto una domanda: a che pro la tiritera del "ma come diavolo parli dell'Analisi Matematica"?
Scusa piiippuz, che lavoro fai?
Beh, in realtà non ha grande importanza: quindi mettiamo per esempio che tu faccia da anni progetti di sistemi informatici di comunicazione avanzatissimi.
Mettiamo che di punto in bianco, sempre più persone ti vengano a dire: "Ah, ho studiato quello che fai ed ho capito che allacci i PC ai modem".
[list=1]
[*:e33jsi1p] Ai primi dieci tenti di spiegare che la situazione non è proprio così, che attaccare i PC ai modem è una cosa particolarissima, alla quale non c'è da dare grossa importanza, e ti dilunghi pure sugli aspetti più avanzati del tuo lavoro per cercare di aumentare un po' le conoscenze dei tuoi interlocutori; facendo ciò levi molto tempo al tuo lavoro, ma tenti di stimolare delle persone e di portarle ad amare ciò che fai.
[/*:m:e33jsi1p]
[*:e33jsi1p] Poi, ai secondi dieci tenti di spiegare che non è proprio così, che attaccare i PC ai modem è una cosa particolarissima, alla quale non c'è da dare grossa importanza, ma capisci già che parlare delle cose avanzate non serve a molto; in questo modo, ti dedichi di più al tuo lavoro, anche se fai di meno per chi ti è di fronte.
[/*:m:e33jsi1p]
[*:e33jsi1p] Infine, ai terzi dieci, gli dici diretamente che non hanno capito un cavolo e che devono tornare a studiare; in tal modo lavori, e speri che chi hai di fronte non sia così supponente da ritenere comunque di aver capito tutto della vita.[/*:m:e33jsi1p][/list:o:e33jsi1p]
Ora, dato che le persone che possono capire o essere stimolate dagli aspetti avanzati del tuo lavoro sono più o meno proprio quelle non troppo supponenti da ritenere comunque di aver capito tutto della vita, è evidente che i modi 1 e 3 si equivalgono in quanto a target; il Principio di Minima Azione, infine, ti porta a scegliere 3 su 1.
"piiippuz":
A che pro suggerire di cercare la risposta in un libro?
Perchè è nei libri che si trovano questo genere di risposte.
Se così non fosse, nessuno li scriverebbe e, probabilmente, staremmo tutti a ciarlare su internet.
"piiippuz":
Si suppone che, nel rivolgersi agli utenti di un Forum, una persona abbia già consultato almeno un libro di testo e che abbia incontrato delle difficoltà. E dovrebbe essere lecito, fino a prova contraria: altrimenti a cosa serve il Forum?
Beh, da quanto ha scritto l'utente, tutto sembra fuorché che abbia consultato qualche libro.
In altri termini, uno studente non può venire a scrivere "Mi pare di aver capito che con le derivate ad esempio riesco a calcolare punti in cui la funzione è massima o minima, ma quello posso vederlo anche dalla mia tabella no?"... E non può non perchè una domanda del genere è sintomo di ignoranza (che lo studio ed il domandare servono a colmare), ma perchè una domanda simile denota il fatto che il supposto studente finora ha fatto di tutto meno che studiare.
Io mi vergognerei di porre una domanda simile.
Ma probabilmente il pudore e la vergogna sono sentimenti appartenenti agli uomini nati in altre epoche.
[@nebbia: Io sono sicuro che quest'ultimo non è il tuo caso; però ti devi rendere conto che parlare in questo modo sciatto in pubblico ti espone a questi inconvenienti.
Perciò è necessario che tu curi di più il tuo modo di esprimerti.]
Inoltre, a cosa serve il forum lo trovi scritto nel regolamento e negli avvisi in testa ad ogni sezione, tipo questo.
"piiippuz":
Personalmente, in quanto frequentatore passivo, ritengo che zero risposte effettive e tante filippiche inutili comportino una gran perdita di tempo (per tutti), e che compromettano (parecchio) la tanto acclamata Divulgazione Matematica. D'altra parte non sussiste l'obbligo di risposta, né in un senso, né nell'altro...o no?
In quanto frequentatore passivo, avrai sicuramente visto le mie risposte a centinaia di quesiti sul forum... Se non l'hai fatto, sei pregato di farlo prima di muovere critiche finalizzate a non so cosa.
"piiippuz":
Non prenderlo come uno sfogo, prendilo come una curiosità che vorrei soddisfare: 5 minuti li ho già buttati via per leggere un 3d che presupponevo, erroneamente, interessante. [/OT]
Invece, io ho "buttato" più di mezz'ora a risponderti.
Mi auguro che questo post non rientri in quelli di categoria 2.
[/OT]
[Continuazione dell'OT, con sentite scuse a Nebbia per aver invaso il suo 3d]
Chiedo scusa per il ritardo della mia risposta, purtroppo inevitabile, essendo ieri questi lidi irraggiungibili (suppongo un down del server, almeno così pareva).
La fallacia del tuo ragionamento riguarda il fatto che, come ho già avuto modo di dire in precedenza, non sussiste l'obbligo di risposta. A. Bernardo non ti ha incatenato in una stanzetta e non ti ha costretto a rispondere a tutte le discussioni del Forum di Matematicamente.
Il succo di una parte del mio precedente messaggio (cosicché si possano evitare ulteriori mutue perdite di tempo) è il seguente: se ti senti indignato dalla domanda posta da Nebbia, non rispondere, puoi passare la mano ad altri sin dal principio ed evitare moralizzazioni di cui a poche persone importa, men che meno a chi, nel leggere "Applicazioni dell'Analisi Matematica", si aspetta una discussione inerente le applicazioni dell'Analisi Matematica .
Eleviamo dunque a principio il fatto che Nebbia non abbia mai aperto nemmeno mezzo libro.
Perdonami, ma reputo che i tuoi giudizi su anni e anni di vita studentesca di una persona, dedotti da un messaggio di 5 righe, denotino un filino di arroganza e supponenza. Soprattutto,...
...e a maggior ragione, non comprendo ancor di più i motivi della tua filippica: se sembra che Nebbia abbia passato anni a grattarsi facendo stragi analitiche, perché ti esponi in certi giudizi basati su ipotetiche considerazioni?
Leggere il regolamento è stata la terza cosa che ho fatto su questo sito, dopo averlo trovato ed essermi registrato.
Sicuramente: eri moderatore della sezione di Analisi, e di tue risposte ne ho viste centinaia. E lo sai qual è l'unica che si è impressa nella mia memoria? Quella in cui rammentavi ad uno studente che non è corretto scrivere "qual'è" (studente che peraltro aveva posto una interessante domanda e che non aveva evidentemente studiato Analisi meccanicamente, stando perlomeno ai tuoi metri di valutazione).
Già fatto. A proposito: immagino che si debba scrivere "se non l'avessi fatto", giusto per rimanere in tema.
Le mie critiche sono finalizzate al miglioramento del Forum: avendo letto molti post, seguendo la linea temporale, mi pare che le cose siano peggiorate di molto con il passare del tempo. Sono un matematico e l'idea di questo sito mi piaceva molto, all'inizio.
Vediamo di chiudere, altrimenti rischiamo di perdere veramente molto tempo. Non ho idea di quale sia il significato che attribuisci al termine tolleranza, so per certo che ci sono utilissime enciclopedie cartacee ed elettroniche. Varrebbe la pena che tu ne consultassi un paio. A ben vedere, l'unico che in questo 3d ha contravvenuto al regolamento che tanto inviti a leggere sei proprio tu.
Dunque, perché ho scritto? Per salutare questo Forum definitivamente e in bellezza, mettiamola così.
Buona continuazione, Gugo. Pippuuuz.
Chiedo scusa per il ritardo della mia risposta, purtroppo inevitabile, essendo ieri questi lidi irraggiungibili (suppongo un down del server, almeno così pareva).
Beh, in realtà non ha grande importanza: quindi mettiamo per esempio che tu faccia da anni progetti di sistemi informatici di comunicazione avanzatissimi.
Mettiamo che di punto in bianco, sempre più persone ti vengano a dire: "Ah, ho studiato quello che fai ed ho capito che allacci i PC ai modem".
Ai primi dieci tenti...
Ora, dato che le persone che possono capire o essere stimolate dagli aspetti avanzati del tuo lavoro sono più o meno proprio quelle non troppo supponenti da ritenere comunque di aver capito tutto della vita, è evidente che i modi 1 e 3 si equivalgono in quanto a target; il Principio di Minima Azione, infine, ti porta a scegliere 3 su 1.
La fallacia del tuo ragionamento riguarda il fatto che, come ho già avuto modo di dire in precedenza, non sussiste l'obbligo di risposta. A. Bernardo non ti ha incatenato in una stanzetta e non ti ha costretto a rispondere a tutte le discussioni del Forum di Matematicamente.
Il succo di una parte del mio precedente messaggio (cosicché si possano evitare ulteriori mutue perdite di tempo) è il seguente: se ti senti indignato dalla domanda posta da Nebbia, non rispondere, puoi passare la mano ad altri sin dal principio ed evitare moralizzazioni di cui a poche persone importa, men che meno a chi, nel leggere "Applicazioni dell'Analisi Matematica", si aspetta una discussione inerente le applicazioni dell'Analisi Matematica .
Se così non fosse, nessuno li scriverebbe e, probabilmente, staremmo tutti a ciarlare su internet.
Eleviamo dunque a principio il fatto che Nebbia non abbia mai aperto nemmeno mezzo libro.
ma perchè una domanda simile denota il fatto che il supposto studente finora ha fatto di tutto meno che studiare.
Perdonami, ma reputo che i tuoi giudizi su anni e anni di vita studentesca di una persona, dedotti da un messaggio di 5 righe, denotino un filino di arroganza e supponenza. Soprattutto,...
Beh, da quanto ha scritto l'utente, tutto sembra fuorché che abbia consultato qualche libro.
...e a maggior ragione, non comprendo ancor di più i motivi della tua filippica: se sembra che Nebbia abbia passato anni a grattarsi facendo stragi analitiche, perché ti esponi in certi giudizi basati su ipotetiche considerazioni?
Inoltre, a cosa serve il forum lo trovi scritto nel regolamento e negli avvisi in testa ad ogni sezione, tipo questo.
Leggere il regolamento è stata la terza cosa che ho fatto su questo sito, dopo averlo trovato ed essermi registrato.
In quanto frequentatore passivo, avrai sicuramente visto le mie risposte a centinaia di quesiti sul forum...
Sicuramente: eri moderatore della sezione di Analisi, e di tue risposte ne ho viste centinaia. E lo sai qual è l'unica che si è impressa nella mia memoria? Quella in cui rammentavi ad uno studente che non è corretto scrivere "qual'è" (studente che peraltro aveva posto una interessante domanda e che non aveva evidentemente studiato Analisi meccanicamente, stando perlomeno ai tuoi metri di valutazione).
Se non l'hai fatto, sei pregato di farlo prima di muovere critiche finalizzate a non so cosa.
Già fatto. A proposito: immagino che si debba scrivere "se non l'avessi fatto", giusto per rimanere in tema.
Le mie critiche sono finalizzate al miglioramento del Forum: avendo letto molti post, seguendo la linea temporale, mi pare che le cose siano peggiorate di molto con il passare del tempo. Sono un matematico e l'idea di questo sito mi piaceva molto, all'inizio.
Vediamo di chiudere, altrimenti rischiamo di perdere veramente molto tempo. Non ho idea di quale sia il significato che attribuisci al termine tolleranza, so per certo che ci sono utilissime enciclopedie cartacee ed elettroniche. Varrebbe la pena che tu ne consultassi un paio. A ben vedere, l'unico che in questo 3d ha contravvenuto al regolamento che tanto inviti a leggere sei proprio tu.
1. Scopi e finalità
1.1 Matematicamente.it Forum è un luogo aperto e tollerante di crescita comune sui temi della matematica e delle sue variegate applicazioni, uno spazio pubblico e gratuito per lo scambio di opinioni, esperienze, informazioni utili, consigli, aiuti reciproci.
Dunque, perché ho scritto? Per salutare questo Forum definitivamente e in bellezza, mettiamola così.
Buona continuazione, Gugo. Pippuuuz.
gugo OWNED! 
XD
XD
[OT]
In verità stavo rispondendo in privato, giacché decenza vuole di non proseguire con queste diatribe qui; ma quest'ultimo commento mi ha fatto passare la voglia di discutere.
Se credete che far notare carenze gravi (nel linguaggio, nell'impegno, nella formalizzazione dei concetti) sia un sintomo d'intolleranza, godetevi il ruzzolone nell'abisso dell'ignoranza: io vi guarderò dall'orlo.
Byes.
@piiippuz: Non mi sei piaciuto, mascherina.
Avrei preferito non avessi creato un'utenza apposita per criticare me: certe cose è meglio dirle e sentirle apertamente.
Tanto credo che abbiamo entrambi le spalle abbastanza larghe per sopportare critiche ed ammettere i propri errori.
[/OT]
In verità stavo rispondendo in privato, giacché decenza vuole di non proseguire con queste diatribe qui; ma quest'ultimo commento mi ha fatto passare la voglia di discutere.
Se credete che far notare carenze gravi (nel linguaggio, nell'impegno, nella formalizzazione dei concetti) sia un sintomo d'intolleranza, godetevi il ruzzolone nell'abisso dell'ignoranza: io vi guarderò dall'orlo.
Byes.
@piiippuz: Non mi sei piaciuto, mascherina.
Avrei preferito non avessi creato un'utenza apposita per criticare me: certe cose è meglio dirle e sentirle apertamente.
Tanto credo che abbiamo entrambi le spalle abbastanza larghe per sopportare critiche ed ammettere i propri errori.
[/OT]
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo