Analisi numerica:stima punto d'innesco

[Sk_Anonymous]

esiste un metodo per determinare una stima del punto d'innesco del metodo iterativo di Newton per sistemi di funzioni non lineari a piu variabili affinchè l'algoritmo converga sicuramente alla soluzione?

se si, qual è?

[david_e1]

Nel caso di una singola equazione si ha:


Il metodo di Newton si puo' scrivere nella forma

$x_{k+1} = phi ( x_k ) $

Dove:

$ phi ( x ) = x - (f(x))/(f'(x)) $

Il metodo converge nell'ipotesi che l'$x_0$ punto di innesco (non l'ho mai sentito chiamare cosi') appartenga all'insieme:

$ R : = { x \in RR \ : \ |phi'(x)| < 1 } $

In quel caso il teorema delle contrazioni garantisce che esiste una sola soluzione del problema:

$ f(x) = 0 $ (1)

contenuta in $R$ e che:

$ \lim_{k \to \infty} x_k = x^* $

Dove $x^*$ e' la soluzione esatta di (1).

Nel caso di sistemi il discorso e' analogo. Solo che al posto di $phi$ c'e' una funzione vettoriale e $R$ diventa:

$ R := { vec x \in RR^n \ : \ |det J(vec x)| < 1 } $

Dove $J$ e' la matrice Jacobiana di $vec phi$.

Alcune considerazioni:

1. Questa e' una condizione sufficiente, ma non necessaria alla convergenza.

2. Questa condizione in pratica e' ASSOLUTAMENTE INUTILE. Visto che trovare lo Jacobiano di $vec phi$ e' MOOOOLTO piu' complicato che risolvere la (1)....

3. L'insieme $Q$ (quello ``vero'' per cui $vec x$ converge ($R \subset Q$)) associato ad ogni singola radice di (1) potrebbe essere MOLTO brutto. Spesso addirittura questi $R$
sono frattali...

*** EDIT ***
Una piccola correzione. Al punto 3 gli insiemi che potrebbero essere frattali sono quelli di convergenza o meno della successione delle $vec x_k$ ad una certa soluzione. Gli insiemi $R$ (che sono dei sotto-insiemi dei $Q$) ovviamente NON sono dei frattali.

[Sk_Anonymous]

ok, grazie.
ps: sulle mie dispense la mia prof. lo chiama così.

ciao!