Analisi numerica:interpolazione
Salve ragazzi, è il mio primo messaggio su matematicamente.it
Dovrei approssimare la funzione f di C^2[a,b] con funzioni spline lineari di grado 1.... dovrei individuare una matrice interpolante con convergenza uniforme...qua sorge il dubbio: devo creare la matrice d'interpolazione i cui punti sono gli zeri di Chebichev? Oppure è errato e conoscete qualche altro sistema....grazie
Dovrei approssimare la funzione f di C^2[a,b] con funzioni spline lineari di grado 1.... dovrei individuare una matrice interpolante con convergenza uniforme...qua sorge il dubbio: devo creare la matrice d'interpolazione i cui punti sono gli zeri di Chebichev? Oppure è errato e conoscete qualche altro sistema....grazie
Risposte
Se fai spline non è affatto necessario ricorrere ai nodi di Chebyshev(*): puoi interpolare su nodi equispaziati e hai comunque la convergenza in $H^2$...
La strategia più semplice è dividere in intervalli equispaziati e usare una base Lagrangiana, stile EF, fatta di funzioni "tenda":
$ \phi_i(x_j) = \delta_{ij}$
$ \phi_i(x) = {(1/h(x-x_{i-1}) \quad x_{i-1} < x < x_{i}),(1-1/h(x_i-x) \quad x_{i} < x < x_{i+1}):}$
essendo $h$ la spaziatura degli intervallini. La figura:
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Fini ... ation2.png
Illustra la situazione in blu abbiamo la base in rosso l'approssimata. A questo punto l'approssimata è:
$ Pf(x)=\sum_i f(x_i) \phi_i(x) $
quindi è sufficiente calcolare la funzione sui nodi... Non occorre costruire in esplicito la matrice di interpolazione.
*** EDIT ***
(*) anzi direi che è inutile.
La strategia più semplice è dividere in intervalli equispaziati e usare una base Lagrangiana, stile EF, fatta di funzioni "tenda":
$ \phi_i(x_j) = \delta_{ij}$
$ \phi_i(x) = {(1/h(x-x_{i-1}) \quad x_{i-1} < x < x_{i}),(1-1/h(x_i-x) \quad x_{i} < x < x_{i+1}):}$
essendo $h$ la spaziatura degli intervallini. La figura:
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Fini ... ation2.png
Illustra la situazione in blu abbiamo la base in rosso l'approssimata. A questo punto l'approssimata è:
$ Pf(x)=\sum_i f(x_i) \phi_i(x) $
quindi è sufficiente calcolare la funzione sui nodi... Non occorre costruire in esplicito la matrice di interpolazione.
*** EDIT ***
(*) anzi direi che è inutile.
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