Analisi convergenza del risultato
Salve a tutti, nel cercare di implementare un algoritmo riguardante le immagini bidimensionali, mi sono imbattuto in questo genere di problema (qui sotto semplificato).
\(\displaystyle
x = \frac{x_0}{\frac{r^2}{x}+ 2(x+y)} \qquad , \qquad
y = \frac{y_0}{\frac{r^2}{y}+ 2(x+y)} \qquad , \qquad
r^2 = x^2 + y^2
\)
Mi piacerebbe trovare le soluzioni di x e y.
Non potendo trovare una soluzione in forma chiusa, ho pensato di iterare le soluzioni. Ho considerato le x,y sulla destra del segno di uguale come variabili al tempo t, mentre a sinistra dell'uguale sono al tempo t+1. Ed in questo modo posso trovare due soluzioni approssimate iterando fino a che la differenza con le soluzioni precedenti è minore di un epsilon.
Questa soluzione iterativa funziona, ma matematicamente fa veramente pena. Non ho alcuna conoscenza della convergenza della funzione. Qualcuno di voi riuscirebbe a darmi qualche idea o soluzione alternativa?
\(\displaystyle
x = \frac{x_0}{\frac{r^2}{x}+ 2(x+y)} \qquad , \qquad
y = \frac{y_0}{\frac{r^2}{y}+ 2(x+y)} \qquad , \qquad
r^2 = x^2 + y^2
\)
Mi piacerebbe trovare le soluzioni di x e y.
Non potendo trovare una soluzione in forma chiusa, ho pensato di iterare le soluzioni. Ho considerato le x,y sulla destra del segno di uguale come variabili al tempo t, mentre a sinistra dell'uguale sono al tempo t+1. Ed in questo modo posso trovare due soluzioni approssimate iterando fino a che la differenza con le soluzioni precedenti è minore di un epsilon.
Questa soluzione iterativa funziona, ma matematicamente fa veramente pena. Non ho alcuna conoscenza della convergenza della funzione. Qualcuno di voi riuscirebbe a darmi qualche idea o soluzione alternativa?
Risposte
Non ho capito molto di quanto hai scritto onestamente.
"Elimina" la terza equazione inserendo l'espressione di $r^2$ nelle espressioni per $(x,y)$, così avrai un sistema di due equazioni in due incognite \( \begin{cases} f_1(x,y)=0 \\ f_2(x,y)=0 \end{cases} \)
dove \[ f_1(x,y)= x- \frac{x_0}{\frac{x^2+y^2}{2}+2(x+y)}\] e
\[ f_2(x,y)= y- \frac{y_0}{\frac{x^2+y^2}{2}+2(x+y)} \]
A questo punto puoi implementare un metodo di tipo Newton per sistemi non lineari, oppure utilizzare una routine già pronta.
"Elimina" la terza equazione inserendo l'espressione di $r^2$ nelle espressioni per $(x,y)$, così avrai un sistema di due equazioni in due incognite \( \begin{cases} f_1(x,y)=0 \\ f_2(x,y)=0 \end{cases} \)
dove \[ f_1(x,y)= x- \frac{x_0}{\frac{x^2+y^2}{2}+2(x+y)}\] e
\[ f_2(x,y)= y- \frac{y_0}{\frac{x^2+y^2}{2}+2(x+y)} \]
A questo punto puoi implementare un metodo di tipo Newton per sistemi non lineari, oppure utilizzare una routine già pronta.
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