Aiuto metodo tangenti e secanti
Ragazzi mi spieghereste come svolgere questo esercizio con relativo grafico?Grazie! 
Data la funzione f(x) = $x ^2 − 2$ , applicare i metodi delle tangenti e delle secanti per la ricerca di uno zero, tracciando il grafico.
Data la funzione f(x) = $x ^2 − 2$ , applicare i metodi delle tangenti e delle secanti per la ricerca di uno zero, tracciando il grafico.
Risposte
Dunque si tratta di risolvere $ f(x)=x^2-2 = 0 $ che ha ovviamente le 2 soluzioni $ xi_1 = sqrt(2) ~~ 1.41421356 $ e $ xi_2 = -sqrt(2) ~~ -1.41421356 $. Scelgo invece di risolvere con un procedimento iterativo e devo prima separare le soluzioni, dunque scrivo la $ f $ come $ x^2 = 2 $ e posto $ { ( g(x) = x^2 ),( h(x)=2 ):} $ vado a fare il grafico di g(x) e h(x).
[jxg]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[/jxg]
Posso dire che ho $ xi_1 in [1,2] := I_1 $ e $ xi_2 in [-2,-1] := I_2 $ .
METODO DELLE TANGENTI
Per verificare che sia applicabile in $ I_1 $ devo verificare:
1) $ f in C^1(I_1) $, ed è vero poichè esiste la funzione e la sua derivata;
2) $ f(a)\cdot f(b) < 0 $ e $ f(1) \cdot f(2) = -2<0 $ dunque vero;
3) f non cambia concavità in $ I_1 $, ovvero $ f''(x) \ne 0 $ per ogni $ x in I_1 $: ciò è vero poichè in questo caso $ f''(x)=2 > 0 $ e la funzione è sempre concava.
Sicuro che il metodo converge calcolo l'estremo di Fourier $ x_0 $, cioè quel punto tale che $ f(x_0)\cdot f''(x_0) > 0 $. Provo con $ x_0 = 2 $ e ho $ f(2) \cdot f''(2) = 4 > 0 \Rightarrow x_0 = 2 $ è estremo di Fourier dell'intervallo. Dunque comincio:
$ { ( x_(k+1) = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} ),( x_0 = 2 ):} $
$ x_1 = 2 - 2/4 = 1.5 $
$ x_2 = .... $
$ x_6 ~~ 1.41421356 $
che era il risultato che ci si aspettava $ xi_1 = sqrt(2) $
METODO DELLE SECANTI
Scelgo stavolta l'intervallo $ I_2 $ e mi aspetto che il metodo converge alla soluzione se:
1) $ f in C^2(I_2) $, ed è vero poichè è continua e derivabile 2 volte;
2) $ f(a) \cdot f(b) < 0 $ ed è vero poichè $ f(-2) \cdot f(-1) < 0 $ ;
3) $ f''(x) = 2 \ne 0 $.
NOTA BENE: Utilizzo il metodo delle secanti ad estremi variabili, abbastanza diverso dal metodo delle secanti ad estremo fisso.
Ho la funzione di iterazione:
$ { ( x_(k+1) = x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_(k-1)}{f(x_k)-f(x_(k-1))} ), ( x_0 = -1 ), ( x_1 = -2 ):} $
ottengo:
$ x_1 = -2 - 2 \cdot \frac{-2-(-1)}{2-(-1)} ~~ -1.3333333 $
$ x_2 = .... $
$ x_6 ~~ -1.41421356 $
Spero di esserti stato d'aiuto.
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Posso dire che ho $ xi_1 in [1,2] := I_1 $ e $ xi_2 in [-2,-1] := I_2 $ .
METODO DELLE TANGENTI
Per verificare che sia applicabile in $ I_1 $ devo verificare:
1) $ f in C^1(I_1) $, ed è vero poichè esiste la funzione e la sua derivata;
2) $ f(a)\cdot f(b) < 0 $ e $ f(1) \cdot f(2) = -2<0 $ dunque vero;
3) f non cambia concavità in $ I_1 $, ovvero $ f''(x) \ne 0 $ per ogni $ x in I_1 $: ciò è vero poichè in questo caso $ f''(x)=2 > 0 $ e la funzione è sempre concava.
Sicuro che il metodo converge calcolo l'estremo di Fourier $ x_0 $, cioè quel punto tale che $ f(x_0)\cdot f''(x_0) > 0 $. Provo con $ x_0 = 2 $ e ho $ f(2) \cdot f''(2) = 4 > 0 \Rightarrow x_0 = 2 $ è estremo di Fourier dell'intervallo. Dunque comincio:
$ { ( x_(k+1) = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} ),( x_0 = 2 ):} $
$ x_1 = 2 - 2/4 = 1.5 $
$ x_2 = .... $
$ x_6 ~~ 1.41421356 $
che era il risultato che ci si aspettava $ xi_1 = sqrt(2) $
METODO DELLE SECANTI
Scelgo stavolta l'intervallo $ I_2 $ e mi aspetto che il metodo converge alla soluzione se:
1) $ f in C^2(I_2) $, ed è vero poichè è continua e derivabile 2 volte;
2) $ f(a) \cdot f(b) < 0 $ ed è vero poichè $ f(-2) \cdot f(-1) < 0 $ ;
3) $ f''(x) = 2 \ne 0 $.
NOTA BENE: Utilizzo il metodo delle secanti ad estremi variabili, abbastanza diverso dal metodo delle secanti ad estremo fisso.
Ho la funzione di iterazione:
$ { ( x_(k+1) = x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_(k-1)}{f(x_k)-f(x_(k-1))} ), ( x_0 = -1 ), ( x_1 = -2 ):} $
ottengo:
$ x_1 = -2 - 2 \cdot \frac{-2-(-1)}{2-(-1)} ~~ -1.3333333 $
$ x_2 = .... $
$ x_6 ~~ -1.41421356 $
Spero di esserti stato d'aiuto.
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