Zeri, Poli e Punti Singolari

[fede161]

Ciao ragazzi !!

Qualcuno di voi potrebbe spiegarmi gentilmente qual è la differenza fra un polo, una singolairtà e uno Zero ?

Ad esempio, la funzione $ f(z)= 1/(sqrtz(z+i) $

ha un polo o una singolarità in in z = i ?

Grazie mille per la risposta!!!

[DavideGenova1]

Una singolarità si ha in un punto $z_0$, detto singolare, in cui la funzione $f$ non è analitica mentre \(\forall\varepsilon>0\) esiste un punto $z$ in una palla aperta \(B(z_0,\varepsilon)\) tale che $f$ è analitica in $z$. La singolarità è detta isolata quando per il punto singolare $z_0$ esiste una palla bucata di raggio maggiore $r>0$, o anello di raggio minore nullo che dir si voglia, \( A(z_0,0,r):=\{z\in\mathbb{C}:0<|z-z_0| Un polo di ordine $m\geq 0$ finito è un punto singolare isolato, tale quindi che $\exists r>0:\forall z\in A(z_0,0,r)\quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$, cioè che intorno ad esso vale lo sviluppo di Laurent, in cui l'indice non positivo più piccolo dei coefficienti non nulli della serie di Laurent è $n=-m$. Se la serie possiede infiniti termini non nulli di indice negativo l'ordine del polo è infinito.
Uno zero è semplicemente un punto $z_0$ in cui si annulla $f$ e si dice di ordine $m$ se le derivate si annullano tutte fino alla \((m-1)\)-esima.
Esistono interessanti teoremi che legano i poli di una funzione agli zeri di funzioni di cui $f$ possa essere scritta come prodotto o quoziente, per cui ti posso consigliare, oltre che per avere chiarimenti migliori dei miei sui concetti di polo, singolarità e zero, C. Presilla, Elementi di analisi complessa, pp. 135-143.
Ciao!