Zeri di una funzione olomorfa

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del seguente teorema.

Sia f(z) una funzione olomorfa in $Omega sube CC$ aperto. Le due condizioni seguenti sono equivalenti:
1) $z_0$ è uno zero di ordine m;
2) $f(z_0)=f'(z_0)=...=f^((m-1)) (z_0)=0$, $f^((m))(z_0) != 0$

Dimostrazione
1) $rArr$ 2)
$z_0 in Omega$ si dice zero di ordine m, $m in NN$, se esiste una funzione g(z) olomorfa in $Omega$ tale che $f(z)=g(z)(z-z_0)^m$, $g(z_0) != 0$.

Consideriamo un disco $B_r(z_0) sube Omega$. In esso entrambe le funzioni sono sviluppabili in serie di potenze e si ha quindi che

$f(z)=g(z)(z-z_0)^m=(z-z_0)^m sum_(k=0)^(+oo) a_k (z-z_0)^k=sum_(k=0)^(+oo) a_k (z-z_0)^(k+m)=sum_(p=m)^(+oo) (f^((p)) (z_0))/(p!) (z-z_0)^(p)$

e quindi $f^((j)) (z_0)=0$, $j=0,...,m-1$ e $f^((m)) (z_0)=a_0=g(z_0) != 0$

Mi sapreste spiegare l'uguaglianza $sum_(k=0)^(+oo) a_k (z-z_0)^(k+m)=sum_(p=m)^(+oo) (f^((p)) (z_0))/(p!) (z-z_0)^(p)$ ?

[Antimius]

Quell'uguaglianza deriva dal fatto che $f(z)=g(z)(z-z_0)^m$: sta uguagliando la serie di Taylor di $f$ con quella di $g(z)(z-z_0)$.

[sirio25788-votailprof]

"Antimius":Quell'uguaglianza deriva dal fatto che $ f(z)=g(z)(z-z_0)^m $: sta uguagliando la serie di Taylor di $ f $ con quella di $ g(z)(z-z_0) $.

Penso di aver capito.

$f(z)=sum_(p=0)^(+oo) b_p(z-z_0)^p=sum_(p=0)^(m-1) (f^((p))(z_0))/(p!)(z-z_0)^p +sum_(p=m)^(+oo) (f^((p))(z_0))/(p!)(z-z_0)^p$

Dato che $f(z)=sum_(k=0)^(+oo) a_k (z-z_0)^(k+m)=sum_(p=m)^(+oo) a_(p-m) (z-z_0)^p$ allora

$sum_(p=0)^(m-1) (f^((p))(z_0))/(p!)(z-z_0)^p=0 $

$a_(p-m)= (f^((p))(z_0))/(p!)$

giusto?

[Antimius]

Giusto.

[sirio25788-votailprof]

Perfetto! Grazie.