Zeri di una funzione a due variabili+Taylor
Premetto che mi scuso se sto tempestando di domande il forum, ma sto veramente con le cosiddette "pezze". Cercherò di rallentare dopo queste due domande (le ho messe insieme così da non dover aprire l'ennesimo topic).
1)Devo disegnare l'insieme degli zeri della funzione $F(x,y)=y^2e^(xy)-y*(1+e^(2xy))+e^(xy)$. Al primo sguardo è lecito il doppio infarto, come minimo. Ma poi la guardo bene e risolvo così:
$F(x,y)=0hArry=(1+e^(2xy)+-sqrt((1+e^(2xy))^2-4e^(2xy)))/(2e^(xy))=(1+e^(2xy)+-sqrt((e^(4xy)-2e^(2xy)+1)))/(2e^(xy))=(1+e^(2xy)+-sqrt((e^(2xy)-1)^2))/(2e^(xy))=(1+e^(2xy)+-|e^(2xy)-1|)/(2e^(xy))$. Ecco, più che altro la mia domanda è questa: devo considerare il valore assoluto o è già "incluso" nel $+-$ (o viceversa). Perché non vorrei sbagliare, perdendomi così qualche zero.
Se scrivessi $(1+e^(2xy)+|(e^(2xy)-1)|)/(2e^(xy))$, a seconda se $xy>0$ oppure $xy<0$, mi verrebbero due funzioni facilmente esprimibili nella forma $x(y)$. Dopodiché disegnerei i grafici nel piano $(y,x)$ e farei i loro simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante per riportarli nel piano $(x,y)$.
Unendo, otterrei la curva cercata, cioè l'insieme degli zeri di $F$. Altrimenti, se ci fosse $+-$ non saprei bene come muovermi.
2)Sviluppo di Taylor in due variabili:
Se avessi ad esempio $g(x,y)=e^(xy)$ e dovessi sviluppare all'n-esimo ordine con centro $(0,0)$, sarebbe lecito porre $z=xy$ e sviluppare rispetto a quella variabile per poi sostituire? E se fosse centrato in (0,1) cosa cambierebbe? Perché $zto0$ anche se $(x,y)to(0,1)$.
Allora, visto che la domanda è simile, si possono fare sostituzioni simili anche nei limiti a due variabili? Ad esempio in $lim_{(x,y)to(0,y_0)}sin(xy)/x$.
Sono molto incerto su queste cose perché non ho potuto seguire una parte del corso e non riesco a trovare esercizi svolti con queste sostituzioni. Cioè, la mia domanda in fondo è se è lecito ricondurre una funzione a più variabili a una variabile con una sostituzione e trattarla come tale.
Vabbè, alla fine sono diventate tre le domande, scusatemi
Grazie a chiunque abbia tanta pazienza!
1)Devo disegnare l'insieme degli zeri della funzione $F(x,y)=y^2e^(xy)-y*(1+e^(2xy))+e^(xy)$. Al primo sguardo è lecito il doppio infarto, come minimo. Ma poi la guardo bene e risolvo così:
$F(x,y)=0hArry=(1+e^(2xy)+-sqrt((1+e^(2xy))^2-4e^(2xy)))/(2e^(xy))=(1+e^(2xy)+-sqrt((e^(4xy)-2e^(2xy)+1)))/(2e^(xy))=(1+e^(2xy)+-sqrt((e^(2xy)-1)^2))/(2e^(xy))=(1+e^(2xy)+-|e^(2xy)-1|)/(2e^(xy))$. Ecco, più che altro la mia domanda è questa: devo considerare il valore assoluto o è già "incluso" nel $+-$ (o viceversa). Perché non vorrei sbagliare, perdendomi così qualche zero.
Se scrivessi $(1+e^(2xy)+|(e^(2xy)-1)|)/(2e^(xy))$, a seconda se $xy>0$ oppure $xy<0$, mi verrebbero due funzioni facilmente esprimibili nella forma $x(y)$. Dopodiché disegnerei i grafici nel piano $(y,x)$ e farei i loro simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante per riportarli nel piano $(x,y)$.
Unendo, otterrei la curva cercata, cioè l'insieme degli zeri di $F$. Altrimenti, se ci fosse $+-$ non saprei bene come muovermi.
2)Sviluppo di Taylor in due variabili:
Se avessi ad esempio $g(x,y)=e^(xy)$ e dovessi sviluppare all'n-esimo ordine con centro $(0,0)$, sarebbe lecito porre $z=xy$ e sviluppare rispetto a quella variabile per poi sostituire? E se fosse centrato in (0,1) cosa cambierebbe? Perché $zto0$ anche se $(x,y)to(0,1)$.
Allora, visto che la domanda è simile, si possono fare sostituzioni simili anche nei limiti a due variabili? Ad esempio in $lim_{(x,y)to(0,y_0)}sin(xy)/x$.
Sono molto incerto su queste cose perché non ho potuto seguire una parte del corso e non riesco a trovare esercizi svolti con queste sostituzioni. Cioè, la mia domanda in fondo è se è lecito ricondurre una funzione a più variabili a una variabile con una sostituzione e trattarla come tale.
Vabbè, alla fine sono diventate tre le domande, scusatemi
Grazie a chiunque abbia tanta pazienza!
Risposte
Nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado il $\pm$ sta proprio a sottolineare il fatto che scegli la doppia determinazione della radice, in quanto come funzione, $\sqrt{x^2}=|x|$: per cui puoi procedere o mantenendo il $\pm$ e togliendo il valore assoluto (e ti renderai conto che, in ogni casso avrai una limitazione a come possano variare le coordinate) oppure usando solo il $+$ e ragionando sulla forma del valore assoluto.
Per la seconda domanda, nel caso tu voglia sviluppare la funzione in $(0,0)$ quella sostituzione è lecita. Se in generale vuoi sviluppare in $(x_0,y_0)$ puoi, per prima cosa, fare il cambio di variabile $X=x-x_0,\ Y=y-y_0$ il quale ti porta a sviluppare in $(0,0)$ e da lì procedere come dicevi. Prova.
Per la seconda domanda, nel caso tu voglia sviluppare la funzione in $(0,0)$ quella sostituzione è lecita. Se in generale vuoi sviluppare in $(x_0,y_0)$ puoi, per prima cosa, fare il cambio di variabile $X=x-x_0,\ Y=y-y_0$ il quale ti porta a sviluppare in $(0,0)$ e da lì procedere come dicevi. Prova.
Ti ringrazio molto per i dubbi che mi hai sciolto! Mi stai salvando la vita
Però, non ho capito una cosa: cos'è che rende lecito il passaggio nel primo caso e illecito nel secondo?
Però, non ho capito una cosa: cos'è che rende lecito il passaggio nel primo caso e illecito nel secondo?
1) Sì, devi tenere il modulo.
2) L'unicità del polinomio di Taylor ti permette di calcolarlo come preferisci, in particolare anche facendo sostituzioni.
Bisogna però prestare un po' di attenzione.
Nell'esempio che hai fatto, quando $xy\to 0$ hai che
(1) $e^{xy} = \sum_{k=0}^N \frac{x^k y^k}{k!} + o((xy)^{N})$
(e questo è sempre vero).
Se tu stai sviluppando $g$ in un intorno di $(0,0)$, allora vedi subito che
$|xy|^N \le (x^2+y^2)^{N/2}$, da cui $o((xy)^N) = o( ||(x,y)||^N)$.
Ne consegue che la sommatoria in (1) fornisce il polinomio di Taylor cercato.
2') Riguardo la sostituzione nel limite: puoi farla dal momento che
$\lim_{(x,y)\to (0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x,y)\to (0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{xy}\cdot y = y_0$.
Infatti, anche se $y_0\ne 0$, hai che $|xy| \le C |x| \le C \sqrt{x^2+(y-1)^2}$ quando $(x,y)$ sta in un intorno di $(0,y_0)$.
Per convincerti, ragiona con la definizione sul limite
(2) $\lim_{(x,y)\to (0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{xy}$.
Fissa $\epsilon > 0$. Poiché sai già che $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$, esiste $\delta = \delta(\epsilon) \in (0,1)$ t.c.
$|\frac{\sin t}{t} -1 | < \epsilon$ per ogni $|t|<\delta$, $t\ne 0$.
Ma quindi, se [tex]|| (x,y) - (0, y_0) || < \delta / (|y_0| +1)[/tex], hai che
$|xy| \le (|y_0| + 1) |x| \le (|y_0| + 1) [tex]||(x,y) - (0, y_0)|| < \delta[/tex], e dunque
$|\frac{\sin xy}{xy} -1 | < \epsilon$.
Vedi dunque che per definizione il limite in (2) vale $1$; basta scegliere [tex]\delta'(\epsilon) = \delta(\epsilon) / (|y_0| + 1)[/tex].
2) L'unicità del polinomio di Taylor ti permette di calcolarlo come preferisci, in particolare anche facendo sostituzioni.
Bisogna però prestare un po' di attenzione.
Nell'esempio che hai fatto, quando $xy\to 0$ hai che
(1) $e^{xy} = \sum_{k=0}^N \frac{x^k y^k}{k!} + o((xy)^{N})$
(e questo è sempre vero).
Se tu stai sviluppando $g$ in un intorno di $(0,0)$, allora vedi subito che
$|xy|^N \le (x^2+y^2)^{N/2}$, da cui $o((xy)^N) = o( ||(x,y)||^N)$.
Ne consegue che la sommatoria in (1) fornisce il polinomio di Taylor cercato.
2') Riguardo la sostituzione nel limite: puoi farla dal momento che
$\lim_{(x,y)\to (0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x,y)\to (0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{xy}\cdot y = y_0$.
Infatti, anche se $y_0\ne 0$, hai che $|xy| \le C |x| \le C \sqrt{x^2+(y-1)^2}$ quando $(x,y)$ sta in un intorno di $(0,y_0)$.
Per convincerti, ragiona con la definizione sul limite
(2) $\lim_{(x,y)\to (0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{xy}$.
Fissa $\epsilon > 0$. Poiché sai già che $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$, esiste $\delta = \delta(\epsilon) \in (0,1)$ t.c.
$|\frac{\sin t}{t} -1 | < \epsilon$ per ogni $|t|<\delta$, $t\ne 0$.
Ma quindi, se [tex]|| (x,y) - (0, y_0) || < \delta / (|y_0| +1)[/tex], hai che
$|xy| \le (|y_0| + 1) |x| \le (|y_0| + 1) [tex]||(x,y) - (0, y_0)|| < \delta[/tex], e dunque
$|\frac{\sin xy}{xy} -1 | < \epsilon$.
Vedi dunque che per definizione il limite in (2) vale $1$; basta scegliere [tex]\delta'(\epsilon) = \delta(\epsilon) / (|y_0| + 1)[/tex].
Dai tempi deduco che ci ho messo più di 20 minuti a scrivere il post precedente!
(Maledetto MathML; devo abituarmi a usare il tag "[tex ]" al posto del dollaro...)
(Maledetto MathML; devo abituarmi a usare il tag "[tex ]" al posto del dollaro...)
"Rigel":
Dai tempi deduco che ci ho messo più di 20 minuti a scrivere il post precedente!
(Maledetto MathML; devo abituarmi a usare il tag "[tex ]" al posto del dollaro...)
LOL!!!! Sono il Texxer più veloce del mondo!
"ciampax":
[quote="Rigel"]Dai tempi deduco che ci ho messo più di 20 minuti a scrivere il post precedente!
(Maledetto MathML; devo abituarmi a usare il tag "[tex ]" al posto del dollaro...)
LOL!!!! Sono il Texxer più veloce del mondo![/quote]
Eh eh.
Anche io ho l'output "nativo" in TeX; purtroppo le formule fra dollari non vengono interpretate in TeX puro ma in MathML, quindi poi mi ritrovo, nell'anteprima, formule illeggibili. Devo, appunto, abituarmi a usare il tag tex al posto dei dollari.
Ahahah.
Comunque, grazie a entrambi!
Comunque, grazie a entrambi!
Ma non si può usare la relazione che hai scritto $|xy|<=C*sqrt(x^2+(y-1)^2)$ per dire che $|xy|^N<=C^N*(x^2+(y-1)^2)^(N/2)$ e che quindi $o((xy)^N)=o(||"("x,y-1")"||^N)$?
Hai ragione, ho corretto.
A furia di correggere il TeX non correggo i conti...
Puoi provare, nel punto $(0,1)$, a riscrivere il polinomio già trovato in termini di $x$ e $(y-1)$.
Prova poi, invece, a ottenere il polinomio partendo da $e^{x(y-1)} e^x$.
Una volta scartati gli infinitesimi di ordine superiore, i polinomi sono gli stessi.
A furia di correggere il TeX non correggo i conti...
Puoi provare, nel punto $(0,1)$, a riscrivere il polinomio già trovato in termini di $x$ e $(y-1)$.
Prova poi, invece, a ottenere il polinomio partendo da $e^{x(y-1)} e^x$.
Una volta scartati gli infinitesimi di ordine superiore, i polinomi sono gli stessi.
Ah, ok, non preoccuparti 
Però, non riesco a capire: se pongo $z=xy$, lo sviluppo non dovrebbe essere $sum_{k=0}^N(x^ky^k)/(k!) + o((xy)^N)$, per qualsiasi centro $(x_0,y_0)$, in cui una della due componenti sia $0$? Perché $z=xyto0$per $(x,y)to(x_0,y_0)$. E' quindi se anche i resti sono dello stesso ordine di infinitesimo, non capisco perché è necessario traslare. (Praticamente l'ho capito che serve per centrare lo sviluppo su un altro punto, ma non capisco perché non mi quadrano le cose)
Però, non riesco a capire: se pongo $z=xy$, lo sviluppo non dovrebbe essere $sum_{k=0}^N(x^ky^k)/(k!) + o((xy)^N)$, per qualsiasi centro $(x_0,y_0)$, in cui una della due componenti sia $0$? Perché $z=xyto0$per $(x,y)to(x_0,y_0)$. E' quindi se anche i resti sono dello stesso ordine di infinitesimo, non capisco perché è necessario traslare. (Praticamente l'ho capito che serve per centrare lo sviluppo su un altro punto, ma non capisco perché non mi quadrano le cose)
Puoi scegliere: o trasli prima di fare lo sviluppo (secondo me la scelta migliore), oppure per ottenere il polinomio di Taylor devi riscrivere tutti i termini.
Il polinomio in $(0,1)$ è del tipo $\sum_{k=0}^n a_k x^k (y-1)^k$.
Il polinomio in $(0,1)$ è del tipo $\sum_{k=0}^n a_k x^k (y-1)^k$.
Ok, mentre se i due resti non fossero venuti uguali, avrei dovuto fare per forza come mi avevi consigliato all'inizio (e come penso di fare, perché anche a me sembra più conveniente)?
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