Zeri di una funzione.....

[antennaboy]

E' vero che gli zeri di una funzione sono sufficienti a descrivere la funzione nella sua interezza?

E' vero sia in analisi reale sia complessa?

Dal punto di vista qualitativo/ concettuale, perche' gli zeri di una funzione rivestono tutta questa importanza strutturale? Non potremmo forse ricostruirla usando le posizioni per cui la funzione ha valore, che ne so, uguale a 1?


grazie,
antennaboy

[gugo82]

"antennaboy":E' vero che gli zeri di una funzione sono sufficienti a descrivere la funzione nella sua interezza?

In generale no.

Ad esempio, [tex]f(x)=x[/tex] e [tex]g(x)=1-e^x[/tex] hanno entrambe lo stesso tipo di zero in 0, ma sono parecchio diverse.

"antennaboy":E' vero sia in analisi reale sia complessa?

Nel reale non è vero (come appena mostrato).

Nel complesso sì, ma solo per le funzioni intere (ossia sviluppabili in serie di Taylor, o olomorfe, in tutto il piano): fondamentalmente perchè vale il Teorema di Fattorizzazione di Weierstrass.

Da notare il fatto che, considerate come funzioni complesse, la [tex]f(z)=z[/tex] e la [tex]g(z)=1-e^z[/tex] sono funzioni intere che non hanno gli stessi zeri (a norma del Teorema di Fattorizzazione)!

"antennaboy":Dal punto di vista qualitativo/ concettuale, perche' gli zeri di una funzione rivestono tutta questa importanza strutturale? Non potremmo forse ricostruirla usando le posizioni per cui la funzione ha valore, che ne so, uguale a 1?

Dovresti riguardare un po' la dimostrazione del Teorema di Weierstrass... Forse da lì si capisce come viene costruita la funzione intera e quindi se si possono usare valori distinti da zero.