Zeri di funzione con parametro

[Aletzunny1]

data $a in [-sqrt(2),sqrt(2)]$ e $f(x)=(x+a)^2+ln(x)-(1-ln(2))/2$ , $x>0$ determinare gli zeri di $f(x)$ al variare di $a$ e individuare per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $f(x)*f''(x)>0$

Ho provato a risolverlo ma non riesco a venire ad una soluzione: posto i passaggi del mio ragionamento:

$lim_(x->0^+) f(x)=-infty$ e $lim_(x->+infty) f(x)=+infty$

se $a>0$ $f'(x)=2(x+a)+1/x>0$ $AAx>0$ e dunque $f(x)$ ha un solo zero.

se $a<0$ ho provato a fare un cambiamento di simboli, cioè $a=-b$ con $b in [0, sqrt(2)]$ da cui $f'(x)=2(x-b)+1/x$ ha $delta=4b^2-8$ che è sempre minore di zero e dunque $f'(x)>0$ salvo che per $b=sqrt(2)$ e dunque $x=1/sqrt(2)$ è un flesso a tangente orizzontale.
Anche in questo caso $f(x)$ ha un solo zero.
Fino a qui è corretto?

sia per $a<0$ che $a>0$ $f''(x)=2-1/x^2$ e $f''(x)>0$ solo se $x>1/sqrt(2)$

Tuttavia ora come riesco a determinare la validità della condizione se non conosco il valore di $alpha$ tale che $f(alpha)=0$ ?

Grazie.

[Studente Anonimo]

Ottimo.