Zeri di funzione con parametro

[Aletzunny1]

data $a in [-sqrt(2),sqrt(2)]$ e $f(x)=(x+a)^2+ln(x)-(1-ln(2))/2$ , $x>0$ determinare gli zeri di $f(x)$ al variare di $a$ e individuare per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $f(x)*f''(x)>0$

Ho provato a risolverlo ma non riesco a venire ad una soluzione: posto i passaggi del mio ragionamento:

$lim_(x->0^+) f(x)=-infty$ e $lim_(x->+infty) f(x)=+infty$

se $a>0$ $f'(x)=2(x+a)+1/x>0$ $AAx>0$ e dunque $f(x)$ ha un solo zero.

se $a<0$ ho provato a fare un cambiamento di simboli, cioè $a=-b$ con $b in [0, sqrt(2)]$ da cui $f'(x)=2(x-b)+1/x$ ha $delta=4b^2-8$ che è sempre minore di zero e dunque $f'(x)>0$ salvo che per $b=sqrt(2)$ e dunque $x=1/sqrt(2)$ è un flesso a tangente orizzontale.
Anche in questo caso $f(x)$ ha un solo zero.
Fino a qui è corretto?

sia per $a<0$ che $a>0$ $f''(x)=2-1/x^2$ e $f''(x)>0$ solo se $x>1/sqrt(2)$

Tuttavia ora come riesco a determinare la validità della condizione se non conosco il valore di $alpha$ tale che $f(alpha)=0$ ?

Grazie.

[Studente Anonimo]

Intanto, non comprendo come quella funzione possa avere un flesso a tangente verticale (punto di non derivabilità) se, per ogni valore di a, essa è infinitamente derivabile nel suo dominio. Inoltre, nel discutere il segno della derivata:

$(df)/(dx)=(2x^2+2ax+1)/x$

non credo sia un caso che, proprio per $-sqrt2 lt= a lt= sqrt2$, il discriminante del trinomio di 2° grado che compare al numeratore sia sempre non positivo. A buon intenditore, poche parole.

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":Intanto, non comprendo come quella funzione possa avere un flesso a tangente verticale (punto di non derivabilità) se, per ogni valore di a, essa è infinitamente derivabile nel suo dominio. Inoltre, nel discutere il segno della derivata:

$(df)/(dx)=(2x^2+2ax+1)/x$

non credo sia un caso che, proprio per $-sqrt2 lt= a lt= sqrt2$, il discriminante del trinomio di 2° grado che compare al numeratore sia sempre non positivo. A buon intenditore, poche parole.

Ho corretto il post perché appunto era a tangente orizzontale (mio errore di scrittura).....
Mi spiace, ma non ho capito cosa vuoi dirmi con il ragionamento su $a$.

[Studente Anonimo]

Intendevo farti osservare che, per $-sqrt2 lt= a lt= sqrt2$, la derivata è sempre non negativa. Basta ricordare la regola del segno di un trinomio di secondo grado.

[Aletzunny1]

forse dunque con metodi più veloci siamo arrivati a dire che indipendentemente da $a$ si ha che $f'(x)>0$ giusto?

ora però il mio problema è sulla seconda condizione che chiede.
non riesco infatti a capire come ragionare

[Studente Anonimo]

Ok. Per quanto riguarda il resto dell'esercizio, la derivata seconda:

$(2x^2-1)/x^2$

è positiva per:

$x gt sqrt2/2$

Inoltre:

$f(sqrt2/2)=a^2+sqrt2a$

A questo punto si tratta di determinare i valori di a per cui:

$[barx lt sqrt2/2] vv [barx gt sqrt2/2]$

essendo:

$f(barx)=0$

P.S.
Non è necessario determinare $barx$.

[Aletzunny1]

perdonami ancora ma non sto capendo l'utilità di $barx$

nel senso una volta trovato il segno di $f''(x)>0$ per $x>sqrt(2)/2$ ora per trovare $f(x)*f''(x)$ perchè devo vedere quando $barxsqrt(2)/2$ ? e come faccio a sapere che $f(barx)=0$?

Grazie

[Studente Anonimo]

Intanto, poiché:

$f(sqrt2/2)=a^2+sqrt2a$

si ha:

$[a=-sqrt2] rarr [f(sqrt2/2)=0]$

$[-sqrt2 lt a lt 0] rarr [f(sqrt2/2) lt 0]$

$[a=0] rarr [f(sqrt2/2)=0]$

$[0 lt a lt= sqrt2] rarr [f(sqrt2/2) gt 0]$

Inoltre, poiché:

$lim_(x->0^+)f(x)=-oo$

ed esiste un solo $barx$ tale che $f(barx)=0$ (la funzione è crescente), si ha:

$[a=-sqrt2] rarr [barx=sqrt2/2]$

$[-sqrt2 lt a lt 0] rarr [barx gt sqrt2/2]$

$[a=0] rarr [barx=sqrt2/2]$

$[0 lt a lt= sqrt2] rarr [barx lt sqrt2/2]$

A questo punto sei riuscito a discutere il segno della funzione al variare di a. Non resta che discutere il segno della derivata seconda, fortunatamente non dipendente da a:

Derivata seconda negativa

$0 lt x lt sqrt2/2$

Derivata seconda nulla

$x=sqrt2/2$

Derivata seconda positiva

$x gt sqrt2/2$

Insomma, lasciando indicato $barx$, dovresti avere tutto ciò che occorre per concludere.

[Aletzunny1]

provo a riassumere un attimo e completare l'esercizio perchè mi sono perso:

$f'(x)>0$ indipendentemente dal valore di $a$

$f''(x)>0$ solo se $x>sqrt(2)/2$

ora devo verificare per quali $x$ vale che $f(x)*f''(x)>0$ $(#)$ in modo tale da utilizzare Newton per approssimare lo zero di $f(x)$

allora se $a=-sqrt(2)$ oppure $a=0$ la soluzione è $alpha=sqrt(2)/2$ perchè lo zero di $f$ è unico e $f(alpha)=0$.

se $-sqrt(2)sqrt(2)/2$ oppure $0
se $0sqrt(2)/2$ oppure $0
P.S.: non sono molto sicuro sugli ultimi passaggi, spero siano corretti

Grazie

[Studente Anonimo]

Preferisco mostrarti le soluzioni:

$[a=-sqrt2] rarr [x ne sqrt2/2]$

$[-sqrt2 lt a lt 0] rarr [0 lt x lt sqrt2/2] vv [x gt barx]$

$[a=0] rarr [x ne sqrt2/2]$

$[0 lt a lt= sqrt2] rarr [0 lt x lt barx] vv [x gt sqrt2/2]$

[Aletzunny1]

Onestamente vorrei capire il perché di una soluzione e non copiarla...dunque come si è arrivati a tali soluzioni?
Quello che tu chiami $barx=alpha$ giusto?
Allora se $a=-sqrt(2)$ e $x=sqrt(2)/2$ non si ha $f(x)=0$ ?

E gli altri risultati come li hai ottenuti?
Grazie

[Studente Anonimo]

Scusa ma, hai letto la condizione che deve essere soddisfatta nella seconda parte della consegna?

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":Scusa ma, hai letto la condizione che deve essere soddisfatta nella seconda parte della consegna?

Si cioè $f(x)*f"(x)>0$ e ho cercato anche di rispondere mettendo il mio tentativo nel post precedente...ma non sto capendo come agire

[Studente Anonimo]

Il prodotto della funzione per la sua derivata seconda deve essere strettamente positivo. Ergo, devono avere lo stesso segno, entrambe negative oppure entrambe positive. Inoltre, i valori di x in cui si annulla la funzione o la sua derivata seconda non possono essere, ovviamente, soluzioni.

[Aletzunny1]

Chiaro quello lo sapevo...
Ma tu stai usando spesso un $barx$...cosa intende con questo simbolo?

[Studente Anonimo]

L'ho già scritto:

"anonymous_0b37e9":

$f(barx)=0$

[Aletzunny1]

"anonymous_0b37e9":L'ho già scritto:

[quote="anonymous_0b37e9"]

$f(barx)=0$

[/quote]

Ok quindi è quello che io chiamo $alpha$ e cioè è lo zero "reale" di $f$ che è unico...giusto?

[Studente Anonimo]

Ovvio. Se prima non ho fatto obiezioni ci sarà un motivo. Chi tace acconsente. Tra l'altro, se dovessi confermare o confutare tutto ciò che scrivi, si farebbe notte.

[Aletzunny1]

Grazie per la pazienza

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":
Grazie per la pazienza

Cerco di fare del mio meglio. Piuttosto, sei riuscito a capire la soluzione?

[Aletzunny1]

Si grazie, ci ho messo un po' ma dovrei esserci sul perché della soluzione.