$(z+4)^4=3(1-i)^4$
$(z+4)^4=3(1-i)^4$
vorrei sapere su che strada bisogna procedere e se è lecito introdurre il 3 nella parentesi di destra e applicare una radice quarta da entrambi i lati.
$z+4=(1/(root(4)3)-i/root(4)3)$ (immagino che in ogni caso non sia il procedimento corretto)
grazie
vorrei sapere su che strada bisogna procedere e se è lecito introdurre il 3 nella parentesi di destra e applicare una radice quarta da entrambi i lati.
$z+4=(1/(root(4)3)-i/root(4)3)$ (immagino che in ogni caso non sia il procedimento corretto)
grazie
Risposte
Polinomio di ordine 4 in $z$, per cui ci saranno 4 soluzioni! Poni $w=z+4$, scrivi il numero complesso a destra in forma trigonometrica e usa la formula di De Moivre.
$w^4=3[sqrt2(cos3pi/4+isin3pi/4)]^4$
$w^4=12[(cos3pi+isin3pi)]$
ora?
$w^4=12[(cos3pi+isin3pi)]$
ora?
E ora usa la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso.... la conosci?
$w=root(4)12[cos((3pi+2kpi)/4)+isen((3pi+2kpi)/4)]$
sostituendo $k=0,1,2,3$ trovo
es:$w(0)=1,85+i0,07 $
e quindi devo fare $z=-2,15+i0,07$
sostituendo $k=0,1,2,3$ trovo
es:$w(0)=1,85+i0,07 $
e quindi devo fare $z=-2,15+i0,07$
[mod="dissonance"]@piero: Non fare sollecitazioni di tipo "UP" prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento (clic) 3.4. Grazie.[/mod]
Uff.... avevo scritto tutta una bella risposta e poi mi sono dimenticato di inviarla... sto rinc@£##ito! Ok, allora, ecco cosa accade: le soluzioni rispetto a $w$ sono
[tex]$w_k=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)\right],\qquad k=0,1,2,3$[/tex]
per cui le soluzioni che servono sono
[tex]$z_k=w_k-4=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)\right]-4,\qquad k=0,1,2,3$[/tex]
da cui, andando a sostituire i valori di $k$ si ha
[tex]$z_0=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
[tex]$z_1=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
[tex]$z_0=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
[tex]$z_0=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
che sono le quattro soluzioni cercate.
[tex]$w_k=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)\right],\qquad k=0,1,2,3$[/tex]
per cui le soluzioni che servono sono
[tex]$z_k=w_k-4=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi+2k\pi}{4}\right)\right]-4,\qquad k=0,1,2,3$[/tex]
da cui, andando a sostituire i valori di $k$ si ha
[tex]$z_0=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
[tex]$z_1=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
[tex]$z_0=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
[tex]$z_0=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]-4=\sqrt[4]{12}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right]-4,$[/tex]
che sono le quattro soluzioni cercate.
grazie ciampax ora mi è piu chiaro che non si può!
"pierooooo":
grazie ciampax ora mi è piu chiaro che non si può!
Che non si può che????
XD nel senso che ho capito tutto il capibile!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo