Z-trasformata "simpatica"...

[adrenalinico]

Nello svolgimento di una equazione ricorrente è richiesta, come termine noto, di una succesione tale che:
$a(n)=1$, se n è pari;
$a(n)=2$, se n è dispari.
Una soluzione potrebbe essere: $a(n) = 1 + sen^2(npi/2)$.

Semprechè la soluzione sia giusta, mi resta il problema della z-trasformazione.
In particolare non so come aprocciare il $sen^2(npi/2)$.
Non penso si possa semplicemente fare il quadrato della trasformata...
Pensavo di considerarlo il prodotto di due successioni uguali e utilizzare il prodotto di convoluzione.

[Kroldar]

Io direi di provare con

$a(n) = 3/2 - 1/2 cos(npi)$

la cui z-trasformata (unilatera) è

$A(z) = 3/2 * z/(z-1) - 1/2 * z/(z+1)$, $|z| > 1$

[adrenalinico]

"Kroldar":Io direi di provare con

$a(n) = 3/2 - 1/2 cos(npi)$

la cui z-trasformata (unilatera) è

$A(z) = 3/2 * z/(z-1) - 1/2 * z/(z+1)$, $|z| > 1$

Si, in effetti questa forma presenta una z-trasformata molto pù semplice, prendo nota!
Mi resta la curiosità di come affrontare la z-trasformazione di $sin^2t$, sicuramente da eviare in questo caso ma che potrebbe presentarsi in un altro esercizio...

[asciutt]

usa la formula di bisezione del seno

[Kroldar]

Dalle formule di Werner sappiamo che

$sin^2(t) = (1-cos(2t))/2$

dunque

$sin^2(npi/2) = (1-cos(npi))/2$

pertanto

$1+sin^2(npi/2) = 1+(1-cos(npi))/2 = 3/2 - 1/2cos(npi)$

in accordo col risultato già trovato.

La z-trasformata di $sin^2(t)$ coincide con la z-trasformata di $(1-cos(2t))/2$.

[adrenalinico]

"Kroldar":Dalle formule di Werner sappiamo che

$sin^2(t) = (1-cos(2t))/2$

dunque

$sin^2(npi/2) = (1-cos(npi))/2$

pertanto

$1+sin^2(npi/2) = 1+(1-cos(npi))/2 = 3/2 - 1/2cos(npi)$

in accordo col risultato già trovato.

La z-trasformata di $sin^2(t)$ coincide con la z-trasformata di $(1-cos(2t))/2$.

Molto chiaro, grazie.