Z-trasformata

[Capissimo]

Devo fare la Z trasformata di
[tex]a(n)={(n^2+3n)\over (n+2)!}[/tex]
il mio problema è alla base...non so calcolare le serie a meno che non siano immediate.
infatti in questo caso ho:

[tex]a(n)={(n^2+3n)\over (n+2)!}={n^2+3n+2\over(n+2)!}-{2\over(n+2)!}={1\over n!}-{2\over(n+2)!}[/tex]

applicando la formula della zeta trasformata ho

[tex]Z[a(n)]=\sum_{n=0}^\infty\ {z^{-n}\over n!}-2 \sum_{n=0}^\infty\ {1\over z^n(n+2)!}[/tex]

la prima è la serie dell'esponenziale in regione 1/z...ma nn so risplvere la seconda. Mi spiegate come devo ragionare? Devo comunque ricondurla a serie già note?

[vittorino70]

Nella seconda sommatoria poni \(\displaystyle n+2=m \) e quindi essa diventa:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{(n+2)!}= \sum_{m=2} ^\infty \frac {z^{-m+2}}{m!}= z^2\cdot \sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^{-m}}{m!} -\left(z^2+z\right) =z^2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!} -\left(z^2+z\right) \)
Pertanto complessivamente la somma è :
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!} -2 \left[ z^2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!}-\left(z^2+z\right) \right ] \) \(\displaystyle = (1-2z^2) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!} + 2\left (z^2 +z\right) =(1-2z^2)e^{\frac{1}{z}}+2\left (z^2 +z\right)\)
Salvo ognuno !

[Capissimo]

...spiegazione eccellente! grazie
spero che prima o poi mi entrerà in testa il meccanismo!!