Yield e valore di mercato
Non sono certo che la sezione in cui sto postando sia quella giusta, ma poiché il mio dubbio ha implicazioni prima di tutto matematiche, e solo poi econometriche, ho deciso di scrivere qui 
Ho due variabili, una $x$ variabile indipendente (l'YTM di un titolo cedolare) e una $y$ variabile dipendente (il prezzo teorico dell'obbligazione), legate dalla relazione inversa $Δy=−Δx$. Ora ipotizzo una variazione infinitesima di $x$: per quale motivo la variazione (altrettanto infinitesima) che subirà $y$ può essere calcolata mediante la derivata prima di $y$ su $x$? O per meglio dire, perché è possibile scrivere $(Δy)/(Δx)=(∂y)/(∂x)$ per variazioni infinitesime di $x$?
Il ragionamento "bovino" che ho fatto è il seguente. Per definizione, la derivata di una funzione calcolata in un punto rappresenta la pendenza della retta tangente a tale funzione calcolata nel punto. Se mi sposto dal punto $(y,x)$ al punto $(y,x+Δx)$ cambia anche l'inclinazione della retta tangente nel punto e quindi la sua derivata; tuttavia se il valore di $Δx$ è infinitesimo, calcolando la funzione nel punto $(y,x)$ mediante serie di Taylor troncata al primo ordine ottengo che la derivata calcolata nei due punti è la medesima a meno di una distanza $ε$ infinitesima tra la funzione "vera" e lo sviluppo in serie. Cosa ne pensate?
Ho due variabili, una $x$ variabile indipendente (l'YTM di un titolo cedolare) e una $y$ variabile dipendente (il prezzo teorico dell'obbligazione), legate dalla relazione inversa $Δy=−Δx$. Ora ipotizzo una variazione infinitesima di $x$: per quale motivo la variazione (altrettanto infinitesima) che subirà $y$ può essere calcolata mediante la derivata prima di $y$ su $x$? O per meglio dire, perché è possibile scrivere $(Δy)/(Δx)=(∂y)/(∂x)$ per variazioni infinitesime di $x$?
Il ragionamento "bovino" che ho fatto è il seguente. Per definizione, la derivata di una funzione calcolata in un punto rappresenta la pendenza della retta tangente a tale funzione calcolata nel punto. Se mi sposto dal punto $(y,x)$ al punto $(y,x+Δx)$ cambia anche l'inclinazione della retta tangente nel punto e quindi la sua derivata; tuttavia se il valore di $Δx$ è infinitesimo, calcolando la funzione nel punto $(y,x)$ mediante serie di Taylor troncata al primo ordine ottengo che la derivata calcolata nei due punti è la medesima a meno di una distanza $ε$ infinitesima tra la funzione "vera" e lo sviluppo in serie. Cosa ne pensate?
Risposte
Stai riscoprendo la definizione di derivata. Il discorso è più basico: non c'è da tirare in ballo Taylor. Se \(y\) è funzione di \(x\) la derivata è definita come limite:
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}=:\frac{dy}{dx}.\]
(qui := significa "uguale per definizione", è un simbolo bruttissimo, ma a volte è comodo). Con il linguaggio classico uno scrive
\[
\Delta y = y(x)-y(x_0), \qquad \Delta x= x-x_0,\]
ottenendo esattamente la relazione che ti interessa
\[
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}.\]
Io sto parlando di "limite", il che è semplicemente la versione moderna degli "infinitesimi" di cui parli tu. Dire che "\(\Delta x\) va considerato infinitesimo" corrisponde esattamente a passare al limite \(\lim_{\Delta x\to 0}\).
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}=:\frac{dy}{dx}.\]
(qui := significa "uguale per definizione", è un simbolo bruttissimo, ma a volte è comodo). Con il linguaggio classico uno scrive
\[
\Delta y = y(x)-y(x_0), \qquad \Delta x= x-x_0,\]
ottenendo esattamente la relazione che ti interessa
\[
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}.\]
Io sto parlando di "limite", il che è semplicemente la versione moderna degli "infinitesimi" di cui parli tu. Dire che "\(\Delta x\) va considerato infinitesimo" corrisponde esattamente a passare al limite \(\lim_{\Delta x\to 0}\).
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