$y'+a(x)y=b(x)$ fattore integrante

[anto_zoolander]

oggi è il terzo... questo sarà breve

avendo $y'=F(x;y)$ completa

$y'+a(x)y=b(x)$ ero 'schiffarato' e mi stavo dimostrando l'utilità del fattore integrante.

moltiplico tutto per $e^(A(x))$

$y'*e^(A(x))+a(x)y*e^(A(x))=b(x)*e^(A(x))$

integro.. nella variabile $x$

$inty'*e^(A(x))+a(x)y*e^(A(x))dx=intb(x)*e^(A(x))dx+c$

in maniera virtuosa volevo dimostrare che:

$inty'*e^(A(x))+a(x)y*e^(A(x))dx=y*e^(A(x))$

e volevo chiedervi se questo procedimento fosse corretto:

$inty'*e^(A(x))dx+inta(x)y*e^(A(x))dx$

integro per parti $inty*a(x)e^(A(x))dx$

$inty'*e^(A(x))+(y*e^(A(x))-inty'*e^(A(x))dx)=y*e^(A(x))$

alla fine quindi si ottiene la classica soluzione

$y(x)=e^(-A(x))[intb(x)e^(A(x))dx+c]$

giusto per sapere se non ho partorito il nulla.

EDIT al posto di crearne uno nuovo, aggiungo quì.

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che

$intf(x)dx = int_{a}^{x}f(t)dt +c$

E dal corollario $int_{a}^{x}f(t)dt=[F(t)]_{a}^{x}$

Quindi in generale vale anche

$intf(x)dx = int_{a}^{x}f(t)dt + F(a)$?

Ad esempio... Se ho $f(x)=2x+1$

$int(2x+1)dx = int_{a}^{x}(2t+1)dt + F(a)$

Può essere sempre riscritta così? naturalmente dove $a$ è un opportuno estremo.

[dissonance]

Mi pare corretto

[anto_zoolander]

Perfetto grazie