$y=arcsin(x^2/2+x+sin(1))$

[mikelozzo]

Ciao..

un problema di cauchy mi chiede di trovarne la soluzione massimale e studiarla:

A SISTEMA: $y'=(x+1)/(cos(y))$ con y(0)=1

giungo alla soluzione eplicita

$y=arcsin(x^2/2+x+sin(1))$ attraverso le restrizioni del dominio e l'angolo tracciato dal punto iniziale P(0;1) [..sempre se i miei calcoli non sono errati...]

ora devo studiarla nel senso che devo vedere se:

A) è monotono crescente
B) è monotona decrescente
C) ha massimo
D) ha minimo ------------> questa è la risposta corretta
E) non è limitata
F) altro

considerando cosa devo vedere mi basta (credo) fare la derivata prima della funzione (soluzione massimale del problema) e porla $>=0$ cosi da vedere crescenza/decrescenza o punti critici.

ora io ho calcolato la derivata prima, e , sempre a meno di errori di calcolo dovrebbe essere:

$y'=(x+1)/(sqrt(-x^4/4 + x^3+x^2(sin(1)+1)+x(2sin(1))+(sin(1))^2+1))$

ponendo la derivata maggiore-uguale di 0 come procedo??

grazie..michy

[salvozungri]

Considera che il denominatore non influisce sul segno, che dipende esclusivamente da $x+1$. Ti accorgerai che $x=-1$ è un punto di minimo della funzione.
Si poteva già notare che $x= -1$ annullava la derivata prima da $y'(x)= (x+1)/cos(y(x))$ solo che non so se sia possibile determinare la natura di questo punto a priori, magari facendo uno studio qualitativo ci si può arrivare, ma è laborioso ed è facile sbagliare. (Non ho controllato i conti, che vagabondo che sono )

[mikelozzo]

si ...ok...ma in questo modo tu noti solo che in x=-1 vi è un punto critico in cui la derivata prima si annulla, ma non sai se è di MAX e MIN e a me è proprio quello che serve capire....

anche perchè tra l'altro l'unico modo che conosco per ricavare le x dal polinomio sotto radice $>=0$ è la "regola di Ruffini" che però dati i coefficienti mi sembra assurda, se non impossibile da applicare...

quindi..che si fa?? =(

[cntrone]

mi sembra che mathematico ti abbia già risp..è un minimo..se studi il segno della derivata prima essa è negativa per $x<-1$ e positiva per $x>=-1$..quindi è un minimo..

[salvozungri]

Ricapitoliamo:
Il denominatore è sempre positivo, $AA x\in Dom(y')$ quindi non ti dà problemi nello studio del segno della derivata prima. Dovrai quindi studiare solo il segno del numeratore.

Edit: non ho visto la risposta di cntrone =)

[mikelozzo]

"Mathematico":Ricapitoliamo:
Il denominatore è sempre positivo, $AA x\in Dom(y')$ quindi non ti dà problemi nello studio del segno della derivata prima. Dovrai quindi studiare solo il segno del numeratore.

Edit: non ho visto la risposta di cntrone =)

e quindi che devo fare?? solo porre $x+1>=0$?? ma cosi ho che è $x>=-1$ e quindi essendo x>-1 o = allora è minimo?? o_O

[cntrone]

"mikelozzo":[quote="Mathematico"]Ricapitoliamo:
Il denominatore è sempre positivo, $AA x\in Dom(y')$ quindi non ti dà problemi nello studio del segno della derivata prima. Dovrai quindi studiare solo il segno del numeratore.

Edit: non ho visto la risposta di cntrone =)

e quindi che devo fare?? solo porre $x+1>=0$?? ma cosi ho che è $x>=-1$ e quindi essendo x>-1 o = allora è minimo?? o_O[/quote]

si ti basta studiare $x+1>=0$
è minimo perchè per $x<-1$ la funzione decresce e per $x>-1$ la funzione cresce.non capisco cosa non ti è chiaro..