$y^(4) +2y^(3) +3y'' +2y' +y=0$
$y^(4) +2y^(3) +3y'' +2y' +y=0$
devo trovare l'integrale generale.
Sul libro [sbordone] dice che è banalmente $(t^2+ t + 1)^2 =0$
e che l'integrale è $y(x)= e^(-x/2)[ [(c_1 + c_2 x) cos((sqrt(3))/2 x] + [(c_3 + c_4 x) sin((sqrt(3))/2 x]]$
Il mio problema è che non riesco a vedere ad occhio, nè facendo ruffini quel quadrato di trinomio.
Come affrontare una scomposizione del genere?
devo trovare l'integrale generale.
Sul libro [sbordone] dice che è banalmente $(t^2+ t + 1)^2 =0$
e che l'integrale è $y(x)= e^(-x/2)[ [(c_1 + c_2 x) cos((sqrt(3))/2 x] + [(c_3 + c_4 x) sin((sqrt(3))/2 x]]$
Il mio problema è che non riesco a vedere ad occhio, nè facendo ruffini quel quadrato di trinomio.
Come affrontare una scomposizione del genere?
Risposte
sicuro che il testo sia giusto? scritto così se sviluppi il quadrato ottieni il coefficiente di $y''$ dovrebbe essere $2$ invece di $3$
Purtroppo il testo è così, credevo fosse una mia svista ma ci ho provato in vari modi, ma nulla.
Spero che sia un errore di testo.
Per chi volesse 'cercarlo' è a pag 219 numero 4.25 sbordone [libro 1 per gli esercizi]
Spero che sia un errore di testo.
Per chi volesse 'cercarlo' è a pag 219 numero 4.25 sbordone [libro 1 per gli esercizi]
Ciao!
Se ho ben capito il 4 ed il 3 sono ordini di derivazione,
e tu hai difficoltà a decomporre il polinomio a coefficenti in $ZZ$ $P(t)=t^4+2t^3+3t^2+2t+1$ associato alla tua differenziale omogenea:
in effetti può starci che a foglio bianco non trovi modo di scomporlo "ad occhio",
ma quella fattorizzazione è comunque corretta perchè a vederla al contrario è vera..
Visto che non sò nulla sulle tue conoscenze di Algebra,
e non posso dunque ricorrere a criteri che forse esulano dal tuo c.d.l.,
ti ricordo intanto che nella decomposizione in $RR$ del tuo polinomio può comparire un $(t-alpha)$ allora e solo quando $alpha$ ne è radice reale:
dunque non ci sarebbe alcun fattore di primo grado,se il polinomio fosse privo di radici reali,
e pertanto in quel caso resterebbe solo la possibilità che sia decomponibile nel prodotto di due polinomi di II° grado con $Delta<0$
(ciò perchè,diciamo cosi,se anche uno solo dei due avesse radici reali,distinte o coincidenti,
salterebbe fuori un fattore polinomiale di I° grado che non potrebbe esserci..)!
Ed in effetti il tuo polinomio è senza radici reali,
essendo continuo e derivabile in tutto $RR$,e t.c. $lim_(t->-oo)P(t)=lim_(t->+oo)P(t)=+oo$(1) e con minimo assoluto $49/16>0$(2)
(potrai dedurlo dallo studio della sua derivata prima,lei si decomponibile con Ruffini..):
potrai allora scriver $P(t)=(t^2+at+b)(t^2+ct+d)$,
e applicando l'odioso principio d'indentità dei polinomi otterrai come,
ponendo "ottimisticamente" $a,b,c,dinZZ$,
i valori accettabili che risolveranno il sistema saranno b=d=1 e a=c=1..
Saluti dal web.
Se ho ben capito il 4 ed il 3 sono ordini di derivazione,
e tu hai difficoltà a decomporre il polinomio a coefficenti in $ZZ$ $P(t)=t^4+2t^3+3t^2+2t+1$ associato alla tua differenziale omogenea:
in effetti può starci che a foglio bianco non trovi modo di scomporlo "ad occhio",
ma quella fattorizzazione è comunque corretta perchè a vederla al contrario è vera..
Visto che non sò nulla sulle tue conoscenze di Algebra,
e non posso dunque ricorrere a criteri che forse esulano dal tuo c.d.l.,
ti ricordo intanto che nella decomposizione in $RR$ del tuo polinomio può comparire un $(t-alpha)$ allora e solo quando $alpha$ ne è radice reale:
dunque non ci sarebbe alcun fattore di primo grado,se il polinomio fosse privo di radici reali,
e pertanto in quel caso resterebbe solo la possibilità che sia decomponibile nel prodotto di due polinomi di II° grado con $Delta<0$
(ciò perchè,diciamo cosi,se anche uno solo dei due avesse radici reali,distinte o coincidenti,
salterebbe fuori un fattore polinomiale di I° grado che non potrebbe esserci..)!
Ed in effetti il tuo polinomio è senza radici reali,
essendo continuo e derivabile in tutto $RR$,e t.c. $lim_(t->-oo)P(t)=lim_(t->+oo)P(t)=+oo$(1) e con minimo assoluto $49/16>0$(2)
(potrai dedurlo dallo studio della sua derivata prima,lei si decomponibile con Ruffini..):
potrai allora scriver $P(t)=(t^2+at+b)(t^2+ct+d)$,
e applicando l'odioso principio d'indentità dei polinomi otterrai come,
ponendo "ottimisticamente" $a,b,c,dinZZ$,
i valori accettabili che risolveranno il sistema saranno b=d=1 e a=c=1..
Saluti dal web.
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