Y sol di y'=f(y), se y no costante, allora è monotona strett
Scusate il titolo strano ma non sapevo come meglio esprimere il tema della mia discussione... cmq questo era un'esercizio di un compitino che ho fatto... e volevo sapere se il mio metodo di risoluzione può sembrare giusto:
"sia f: R -> R di classe C^1 e sia y soluzione di $y'=f(y)$ su un intervallo I. Dimostrare che se y non è costante, allora è strettamente monotona"
Soluzione (mia):
Visto che $y'=f(y)$, posso dire che y' è continua e derivabile ( e questo è un mio grandissimo dubbio...)... se così fosse, ho derviato e ottengo:
$y''=f'(y)y'$ da cui $(y'')/(y')=f'(y)$... a sto punto integro ed ho:
$log|y'|=f(y)+c$ e in conclusione:
$|y'|=e^(f(y)+c)$
Può andare bene??
"sia f: R -> R di classe C^1 e sia y soluzione di $y'=f(y)$ su un intervallo I. Dimostrare che se y non è costante, allora è strettamente monotona"
Soluzione (mia):
Visto che $y'=f(y)$, posso dire che y' è continua e derivabile ( e questo è un mio grandissimo dubbio...)... se così fosse, ho derviato e ottengo:
$y''=f'(y)y'$ da cui $(y'')/(y')=f'(y)$... a sto punto integro ed ho:
$log|y'|=f(y)+c$ e in conclusione:
$|y'|=e^(f(y)+c)$
Può andare bene??
Risposte
nessuno mi sa dare una mano?
Tu parti dall'equazione $y'=f(y)$ per arrivare a $|y'| = e^{f(y)+c}$; sembra improbabile che possa essere corretto.
Comunque: essendo $f\in C^1$, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale. In particolare, una soluzione è costante, cioè $y(x) = y_0$ per $x\in I$, se e solo se $f(y_0) = 0$.
Di conseguenza, se parti dall'ipotesi che la soluzione $y(x)$, $x\in I$, non sia costante, allora deve essere $f(y(x))\ne 0$ per ogni $x\in I$.
Ma questo, per la continuità di $f$ e $y$, significa che o $f(y(x)) > 0$ per ogni $x\in I$ oppure $f(y(x)) < 0$ per ogni $x\in I$.
Nel primo caso hai $y'(x) > 0$ per ogni $x\in I$, nel secondo $y'(x) < 0$ per ogni $x\in I$.
Comunque: essendo $f\in C^1$, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale. In particolare, una soluzione è costante, cioè $y(x) = y_0$ per $x\in I$, se e solo se $f(y_0) = 0$.
Di conseguenza, se parti dall'ipotesi che la soluzione $y(x)$, $x\in I$, non sia costante, allora deve essere $f(y(x))\ne 0$ per ogni $x\in I$.
Ma questo, per la continuità di $f$ e $y$, significa che o $f(y(x)) > 0$ per ogni $x\in I$ oppure $f(y(x)) < 0$ per ogni $x\in I$.
Nel primo caso hai $y'(x) > 0$ per ogni $x\in I$, nel secondo $y'(x) < 0$ per ogni $x\in I$.
Ok... se non è corretto qual è la parte della mia dimostrazione che non funziona?? dove ho sbagliato??
$\int f'(y(x)) dx$ non è $f(y(x)) + c$.
Ok... però visto che f' è continua per definiozne... allora è integrabile ed esiste... quindi posso sempre fare l'elevamento a potenza di e e concludere come avevo detto... sbaglio ancora??
[tex]$y''=f'(y)y'$[/tex] da cui [tex]$\frac{y''}{y'}=f'(y)$[/tex] quindi
[tex]$log|y'|=\int{f'(y)}$[/tex] e in conclusione:
[tex]$|y'|=e^{\int{f'(y)}}$[/tex]
cosa puoi concludere?
[tex]$log|y'|=\int{f'(y)}$[/tex] e in conclusione:
[tex]$|y'|=e^{\int{f'(y)}}$[/tex]
cosa puoi concludere?
Che la derivata prima non si annulla mai... l'esponenziale non si annulla mai... no??
@blackbishop: a mio parere c'è un problema nel tuo ragionamento.
Quando dividi per $y'$, stai già implicitamente assumendo che $y'(x)\ne 0$ per ogni $x\in I$. Dal momento che $y'$ è continua, stai quindi assumendo che si abbia $y'>0$ oppure $y'<0$ in $I$.
Quando dividi per $y'$, stai già implicitamente assumendo che $y'(x)\ne 0$ per ogni $x\in I$. Dal momento che $y'$ è continua, stai quindi assumendo che si abbia $y'>0$ oppure $y'<0$ in $I$.
ma questo lo puoi scartare per il fatto che y' non è costante... quindi non può essere zero su tutto l'intervallo...
ma può essere $0$ in qualche punto dell'intervallo.
"nuwanda":
ma questo lo puoi scartare per il fatto che y' non è costante... quindi non può essere zero su tutto l'intervallo...
attenta sii più precisa:
ma questo lo puoi scartare per il fatto che $y$ non è costante
non $y'$, se no non avrebbe senso.
@Rigel
attento ha fatto bene così, siamo in un problema di Cauchy quindi se $y'=0$ in un punto $x_0$ allora la soluzione $y(x)=x_0$ $\forall x$ è soluzione, e quindi è unica per il teorema di Cauchy appunto. perciò siccome $y$ non è costante $y'$ è sempre diversa da $0$.
quindi nuwanda che la derivata non si annulla mai lo sapevamo già.
ma magari puoi ricavare altro dalla tua uguaglianza.
"Rigel":
essendo $f\in C^1$, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale. In particolare, una soluzione è costante, cioè $y(x) = y_0$ per $x\in I$, se e solo se $f(y_0) = 0$.
Di conseguenza, se parti dall'ipotesi che la soluzione $y(x)$, $x\in I$, non sia costante, allora deve essere $f(y(x))\ne 0$ per ogni $x\in I$.
@blackbishop: che, in questo caso, la soluzione sia costante se la derivata è nulla in un punto mi è piuttosto chiaro; ciò però non è vero in generale per una qualsiasi equazione differenziale, quindi si tratta di una proprietà che va dimostrata.
"blackbishop13":
[tex]$y''=f'(y)y'$[/tex] da cui [tex]$\frac{y''}{y'}=f'(y)$[/tex] quindi
[tex]$log|y'|=\int{f'(y)}$[/tex] e in conclusione:
[tex]$|y'|=e^{\int{f'(y)}}$[/tex]
cosa puoi concludere?
A me questa procedura non mi convince... Mi sembra di capire che venga utilizzato il metodo di risoluzione per le ED a var separabili, ma le variabili in gioco non sono separate (o almeno per come la vedo io). Cosa mi sfugge?
eh sì mi sa che hai ragione mathematico.
questa è una buona obiezione, credo proprio di aver scritto un procedimento sbagliato, dovevo accorgermene.
mi spiace nuwanda, ma penso che non vada bene.
questa è una buona obiezione, credo proprio di aver scritto un procedimento sbagliato, dovevo accorgermene.
mi spiace nuwanda, ma penso che non vada bene.
Eh si... misa proprio cannato in pieno... praticamente è come se avessi $f(y)=$ a qualcosa tipo $sen(x+y)$, e non posso risolverla come ho fatto... giusto???
@blackbishop... te studi matematica a pisa??
@blackbishop... te studi matematica a pisa??
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