|x|<0 in una disequazione:come procedere?
Buongiorno a tutti, svolgendo alcuni semplici esercizi di "analisi matematica I" mi sono ritrovato a dover risolvere la seguente disequazione:
$ |x-3|<2|x| $
Una disequazione più che semplice, ma per quanto semplice possa essere, mi sono bloccato in un punto e non riesco a continuare.
Infatti ho iniziato studiando i segni degli argomenti dei valori assoluti:
$ |x-3|<0 -> x<3 $
$ |x|<0 -> $ ???
Osservando la parte con i punti interrogativi sappiamo che $ |x| $ non è mai minore di zero. Allora come faccio a procedere?
Grazie a chiunque possa darmi una mano e ancora buona giornata.
$ |x-3|<2|x| $
Una disequazione più che semplice, ma per quanto semplice possa essere, mi sono bloccato in un punto e non riesco a continuare.
Infatti ho iniziato studiando i segni degli argomenti dei valori assoluti:
$ |x-3|<0 -> x<3 $
$ |x|<0 -> $ ???
Osservando la parte con i punti interrogativi sappiamo che $ |x| $ non è mai minore di zero. Allora come faccio a procedere?
Grazie a chiunque possa darmi una mano e ancora buona giornata.
Risposte
[hide="."]Piú che altro direi esercizi di terza superiore[/hide]
"matteo.puzzolante":
Infatti ho iniziato studiando i segni degli argomenti dei valori assoluti:
$ |x-3|<0 -> x<3 $
$ |x|<0 -> $ ???
Osservando la parte con i punti interrogativi sappiamo che $ |x| $ non è mai minore di zero. Allora come faccio a procedere?
Già quello che hai scritto non ha molto senso visto che $|x-3|$ non può mai essere $<0$ nemmeno con $x<3$
Lo svolgimento è semplice e si fa già alle superiori...
Ciao matteo
modifica per favore il titolo in tutte minuscole
modifica per favore il titolo in tutte minuscole
Devi applicare la definizione di valore assoluto di un numero reale:
$|x|=x $ se $x>=0$
$|x|=-x$ se $x<0$
La tua disequazione dà luogo a due disequazioni:
1) al secondo membro, assumi $x>0$ (non ha senso x=0 , per il motivo già spiegato.
Quindi hai :
$|x-3|<2x \rightarrow -2x
Qui ci sono ancora due disequazioni , la soluzione deve soddisfare entrambe: io trovo $x>1$
2) Poi devi scrivere l’altra diseq. , supponendo $x<0$; quindi il secondo membro diventa $-2x$...
$|x|=x $ se $x>=0$
$|x|=-x$ se $x<0$
La tua disequazione dà luogo a due disequazioni:
1) al secondo membro, assumi $x>0$ (non ha senso x=0 , per il motivo già spiegato.
Quindi hai :
$|x-3|<2x \rightarrow -2x
Qui ci sono ancora due disequazioni , la soluzione deve soddisfare entrambe: io trovo $x>1$
2) Poi devi scrivere l’altra diseq. , supponendo $x<0$; quindi il secondo membro diventa $-2x$...
Visto che le quantità coinvolte nella disequazione sono entrambe non negative, per le proprietà di monotonia della potenza essa la disequazione è equivalente ad:
\[
(x - 3)^2 < 4 x^2
\]
che è una banalissima disequazione di secondo grado.
\[
(x - 3)^2 < 4 x^2
\]
che è una banalissima disequazione di secondo grado.
Nulla vieta però di procedere con i valori assoluti, come avevo suggerito. L’altra soluzione è $x<-3$.
Infatti per la seconda diseq. si ha, tenendo presente che si è posto $x<0$ :
$|x-3| <-2x\rightarrow 2x
che deve avere una sola soluzione accettabile ; risolvendo separatamente queste due disequazioni :
$ x-3<-2x \rightarrow 3x<3 \rightarrow x<1 $
$2x
è evidente che è accettabile solo $x<-3$
Procedendo come dice Gugo, le due radici dell’equaz di 2^ grado associata alla sua disequazione sono -3 e 1 , e la x dev’essere esterna all’intervallo delle radici.
In conclusione , la soluzione della dis. data è : $ x<-3$ oppure $x>1$ .
Infatti per la seconda diseq. si ha, tenendo presente che si è posto $x<0$ :
$|x-3| <-2x\rightarrow 2x
che deve avere una sola soluzione accettabile ; risolvendo separatamente queste due disequazioni :
$ x-3<-2x \rightarrow 3x<3 \rightarrow x<1 $
$2x
è evidente che è accettabile solo $x<-3$
Procedendo come dice Gugo, le due radici dell’equaz di 2^ grado associata alla sua disequazione sono -3 e 1 , e la x dev’essere esterna all’intervallo delle radici.
In conclusione , la soluzione della dis. data è : $ x<-3$ oppure $x>1$ .
Figurati, Shackle... “Nulla lo vieta”.
Tuttavia, se il calcolo può essere semplificato usando le proprietà di base delle funzioni elementari, è bene farlo.
Il modo di procedere distinguendo i casi si può riassumere così:
[list=1]
[*:10olqr97] studio il segno degli argomenti dei valori assoluti (tutti) e metto i risultati su un grafico complessivo, in modo da delimitare le zone in cui gli argomenti hanno segni diversi.
Nel caso in esame si trova:
[asvg]height=500; xmin = -2; xmax = 5; ymin= -2; ymax = 0;
noaxes();
text([0,0],"0",above); text([3,0],"3",above);
line([0,0],[0,-1.5]); line([3,0],[3,-1.5]);
text([-1, -1.5], "I",above); text([1.5, -1.5], "II",above); text([4, -1.5], "III",above);
strokewidth=2;
marker="arrow";
line([-2,0],[5,0]);
marker="none";
stroke="red";
line([3,-1],[5,-1]); line([0,-0.5],[5,-0.5]);
strokedasharray = [10, 10];
line([-2,-1],[3,-1]); line([-2,-0.5],[0,-0.5]);[/asvg]
[/*:m:10olqr97]
[*:10olqr97] distinguo i tre casi impostando i sistemi:
\[
\underbrace{\begin{cases} x<0 \\ -x + 3 < -2x \end{cases}}_{\text{I}} \quad \cup \quad \underbrace{\begin{cases} 0\leq x < 3 \\ -x + 3 < 2 x \end{cases}}_{\text{II}} \quad \cup \quad \underbrace{\begin{cases} x \geq 3 \\ x - 3 < 2 x \end{cases}}_{\text{III}}
\]
[/*:m:10olqr97]
[*:10olqr97] risolvo i sistemi e trovo:
\[
x < -3 \quad \cup \quad 1 < x \leq 3 \quad \cup \quad x > 3
\]
cioè $x < -3$ oppure $x > 1$.[/*:m:10olqr97][/list:o:10olqr97]
Tuttavia, se il calcolo può essere semplificato usando le proprietà di base delle funzioni elementari, è bene farlo.
Il modo di procedere distinguendo i casi si può riassumere così:
[list=1]
[*:10olqr97] studio il segno degli argomenti dei valori assoluti (tutti) e metto i risultati su un grafico complessivo, in modo da delimitare le zone in cui gli argomenti hanno segni diversi.
Nel caso in esame si trova:
[asvg]height=500; xmin = -2; xmax = 5; ymin= -2; ymax = 0;
noaxes();
text([0,0],"0",above); text([3,0],"3",above);
line([0,0],[0,-1.5]); line([3,0],[3,-1.5]);
text([-1, -1.5], "I",above); text([1.5, -1.5], "II",above); text([4, -1.5], "III",above);
strokewidth=2;
marker="arrow";
line([-2,0],[5,0]);
marker="none";
stroke="red";
line([3,-1],[5,-1]); line([0,-0.5],[5,-0.5]);
strokedasharray = [10, 10];
line([-2,-1],[3,-1]); line([-2,-0.5],[0,-0.5]);[/asvg]
[/*:m:10olqr97]
[*:10olqr97] distinguo i tre casi impostando i sistemi:
\[
\underbrace{\begin{cases} x<0 \\ -x + 3 < -2x \end{cases}}_{\text{I}} \quad \cup \quad \underbrace{\begin{cases} 0\leq x < 3 \\ -x + 3 < 2 x \end{cases}}_{\text{II}} \quad \cup \quad \underbrace{\begin{cases} x \geq 3 \\ x - 3 < 2 x \end{cases}}_{\text{III}}
\]
[/*:m:10olqr97]
[*:10olqr97] risolvo i sistemi e trovo:
\[
x < -3 \quad \cup \quad 1 < x \leq 3 \quad \cup \quad x > 3
\]
cioè $x < -3$ oppure $x > 1$.[/*:m:10olqr97][/list:o:10olqr97]
Grazie Gugo , buon ripasso.
"Didatticamente", dal mio punto di vista, la questione è: perché fare scorciatoie quando ancora non sono del tutto padrone del mezzo?
In generale, quando vedo qualcuno che non è ancora sicuro sulle sue gambe. preferisco che faccia le cose "scolasticamente". passo passo, anche se sovrabbondanti e solo poi, quando cammina ben bene da solo, mostrargli come si possa risparmiare tempo e fatica.
IMHO.
Cordialmente, Alex
In generale, quando vedo qualcuno che non è ancora sicuro sulle sue gambe. preferisco che faccia le cose "scolasticamente". passo passo, anche se sovrabbondanti e solo poi, quando cammina ben bene da solo, mostrargli come si possa risparmiare tempo e fatica.
IMHO.
Cordialmente, Alex
Studente di Analisi I che non è “ancora del tutto padrone del mezzo”? Su argomenti delle superiori?
Eh, a me pare proprio sia così ... 
"Didatticamente", dal mio punto di vista, la questione è: perché fare scorciatoie quando ancora non sono del tutto padrone del mezzo?
Perché il forum non ha niente di didattico, soprattutto le sezioni universitarie, si scambiano messaggi "inter pares" o quasi, non è un sito per ripetizioni private...
Premesso che il concetto che ho espresso aveva un indirizzo generale (valido dall'asilo al dottorando) e non al particolare caso (intenzione che evidentemente non è stata colta), c'è poco da parlare di "Università" e di "inter pares" se poi la situazione del caso concreto è questa; IMHO invece di dialogare di massimi sistemi (o talvolta parlare proprio perché si ha la bocca) meglio dare un aiuto concreto, rimboccandosi le maniche.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@Vulplasir:
Perché, nell’aiuto tra pari secondo te non ci sono intenti o finalità didattici?
@axpgn:
Questa non è un’obiezione formulata correttamente.
Per l’appunto, quello che si scrive nelle sezioni universitarie deve essere orientato ai metodi, non troppo elementari, basati sull’uso delle proprietà (più o meno fini) che si impara a conoscere nei corsi universitari.
Dunque, sbagli a leggere una “scorciatoia” nel metodo che ho segnalato precedentemente, poiché esso è il metodo migliore per risolvere il problema basato sull’uso delle proprietà delle funzioni elementari (in particolare, sulla monotonia della potenza) e che costituiscono uno dei nuclei dell’insegnamento della Matematica universitaria.
"Vulplasir":"Didatticamente", dal mio punto di vista, la questione è: perché fare scorciatoie quando ancora non sono del tutto padrone del mezzo?
Perché il forum non ha niente di didattico, soprattutto le sezioni universitarie, si scambiano messaggi "inter pares" o quasi, non è un sito per ripetizioni private...
Perché, nell’aiuto tra pari secondo te non ci sono intenti o finalità didattici?
@axpgn:
"axpgn":
"Didatticamente", dal mio punto di vista, la questione è: perché fare scorciatoie quando ancora non sono del tutto padrone del mezzo?
In generale, quando vedo qualcuno che non è ancora sicuro sulle sue gambe. preferisco che faccia le cose "scolasticamente". passo passo, anche se sovrabbondanti e solo poi, quando cammina ben bene da solo, mostrargli come si possa risparmiare tempo e fatica.
Questa non è un’obiezione formulata correttamente.
Per l’appunto, quello che si scrive nelle sezioni universitarie deve essere orientato ai metodi, non troppo elementari, basati sull’uso delle proprietà (più o meno fini) che si impara a conoscere nei corsi universitari.
Dunque, sbagli a leggere una “scorciatoia” nel metodo che ho segnalato precedentemente, poiché esso è il metodo migliore per risolvere il problema basato sull’uso delle proprietà delle funzioni elementari (in particolare, sulla monotonia della potenza) e che costituiscono uno dei nuclei dell’insegnamento della Matematica universitaria.
"gugo82":
Questa non è un’obiezione formulata correttamente.
Dipende ... mi pare ovvio che la vediamo da punti di vista diversi ...
Se è vero che siamo in ambito universitario e quindi il tuo approccio "sarebbe" quello corretto, è altrettanto evidente che nel caso in questione vi siano delle carenze di base e queste, forse, in questo momento, andrebbero recuperate in modo "elementare" e solo successivamente riviste differentemente, dopo il loro consolidamento (lo so che arrivati a questo punto non dovrebbero esserci problemi di questo tipo ma se la realtà è questa fare un passo troppo lungo non è detto che sia "migliorativo" ... IMHO)
Comunque, tutto questo mio discorso è di tipo generale, riguardante appunto il modo di insegnare al meglio e, a mio parere, non esiste un metodo univoco che va bene per tutte le stagioni ...
Cordialmente, Alex
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